Как не ошибаться. Сила математического мышления - Джордан Элленберг

Если игроки покупают 3,5 миллиона билетов, складывается совсем другая ситуация. В этом случае организатор лотереи забирает свою долю в размере 2,8 миллиона долларов и выплачивает игрокам оставшиеся 4,2 миллиона долларов. Если прибавить сюда уже имеющиеся в фонде джекпота 2 миллиона долларов, получится 6,2 миллиона долларов, что меньше 7 миллионов долларов, вырученных штатом за продажу билетов. Другими словами, несмотря на щедрое перераспределение призового фонда, лотерея стала настолько популярной, что штат все равно получает прибыль за счет игроков.

Это очень радует власти штата.

Момент равновесия наступает, когда доля в размере 40 % дохода, полученного в день перераспределения призового фонда, в точности равна 2 миллионам долларов, уже поступившим в общий фонд (то есть деньги, полученные от игроков, которые были довольно неопытными или склонными к риску, чтобы играть в WinFall без перераспределения призового фонда). Это 5 миллионов долларов, или 2,5 миллиона лотерейных билетов. Но если сумма немного меньше (а за весь период существования лотереи WinFall она всегда была меньше), WinFall обеспечивает игрокам возможность заработать немного денег.

На самом деле мы используем здесь удивительный, хотя и вполне соответствующий здравому смыслу факт под названием «аддитивность ожидаемой ценности». Предположим, мне принадлежит франшиза McDonald’s и кафе, причем ожидаемая годовая прибыль от McDonald’s составляет 100 тысяч долларов, тогда как ожидаемая чистая прибыль от кафе – 50 тысяч долларов. Безусловно, в разные годы эти показатели могут повышаться и падать; ожидаемая ценность означает, что в долгосрочной перспективе средняя сумма денег, которые заработает McDonald’s, составит около 100 тысяч долларов в год, а средняя сумма денег, полученных от кафе, – 50 тысяч долларов.

Принцип аддитивности гласит, что в среднем общая сумма выручки от гамбургеров бигмак и кофе мокачино составит 150 тысяч долларов, то есть сумму ожидаемой прибыли от каждого из двух направлений бизнеса.

Другими словами, этот принцип можно сформулировать так:

Математики любят записывать рассуждения такого рода в виде формулы, как мы сделали это с коммутативностью сложения (столько-то рядов с таким-то количеством отверстий – это тоже самое, что столько-то столбцов с таким-то количеством отверстий), написав формулу a × b = b × a. В данном примере, если X и Y – две величины, значение которых нам точно не известно, а E(X) – это сокращение от «ожидаемая ценность Х» (expected value of X), тогда принцип аддитивности можно записать в таком виде:

E(X + Y) = E(X) + E(Y).

Вот как это связано с лотереей. Стоимость всех билетов в отдельно взятом розыгрыше – это сумма денег, выплаченных штатом. И эта стоимость не имеет никакого отношения к неопределенности[176]; это просто сумма денег, переданных в фонд других призовых категорий – в первом из приведенных выше примеров это 3,8 миллиона долларов. Ожидаемая ценность твердой суммы в размере 3,8 миллиона долларов составляет ровно столько, сколько вы ожидаете, – 3,8 миллиона долларов.

В этом примере в день перераспределения призового фонда в розыгрыше принимал участие один миллион игроков. Принцип аддитивности гласит, что сумма значений ожидаемой ценности всех 1,5 миллиона лотерейных билетов равна ожидаемой ценности общей стоимости всех билетов, или 3,8 миллиона долларов. Однако все билеты (во всяком случае до того, как вы узнаете выигрышные номера) имеют одну и ту же стоимость. Таким образом, вы суммируете 1,5 миллионов копий одного и того же числа и получаете 3,8 миллиона долларов; этим числом должно быть 2,53 доллара. Ваша ожидаемая прибыль на лотерейный билет составляет 53 цента, то есть более 25 % от вашей ставки – неплохая прибыль для лотереи, в которую, как принято считать, играют только простофили.

Принцип аддитивности настолько привлекателен на интуитивном уровне, что на первый взгляд может показаться, будто он очевиден. Однако, подобно определению цены пожизненных аннуитетов, он далеко не очевиден! Чтобы понять это, подставьте вместо ожидаемой ценности другие понятия – и вся схема нарушится. Возьмем хотя бы такое утверждение:

Но это абсолютно ошибочное утверждение. Предположим, я случайным образом выберу, кому из троих детей оставить наследство. Самое вероятное значение доли каждого ребенка равно нулю, поскольку вероятность того, что я лишу его наследства, – два из трех. Однако самое вероятное значение суммы всех трех долей (по существу, единственно возможное значение) равно стоимости всего моего состояния.

Нам придется прервать историю об университетских умниках и их игре в лотерею, поскольку, раз уж мы заговорили об аддитивности ожидаемой ценности, я не могу не рассказать вам о самом красивом из всех известных мне доказательств, основанном на той идее.

Все начинается с игры франк-карро, которая, как и генуэзская лотерея, напоминает о том, что в старые времена люди играли практически на всё. Для игры франк-карро необходима монета и пол с квадратной плиткой. Вы бросаете монету на пол и заключаете пари: упадет ли она так, чтобы полностью поместиться в пределах одной плитки или прикоснется к одному из краев плитки. Примерный перевод французского словосочетания franc-carreau на английский язык – «squarely within the square»{166} («целиком внутри квадрата»), а в качестве монеты, которая использовалась в этой игре, выступал не франк (его тогда еще не было в обращении), а экю.

Жорж Луи Леклерк, граф де Бюффон был провинциальным аристократом из Бургундии, у которого научные амбиции возникли еще в раннем возрасте{167}. Бюффон поступил в юридическую школу, возможно, для того чтобы вслед за своим отцом стать государственным чиновником, но сразу после окончания учебы отказался от карьеры в области права в пользу науки. В возрасте двадцати семи лет, в 1733 году, он уже был готов представить свою кандидатуру на членство в Королевской академии наук в Париже.

Впоследствии Бюффон прославился как естествоиспытатель, написав объемный труд Histoire Naturelle Générale et Particulière («Всеобщая и частная естественная история»)[177] – всего сорок четыре тома, в которых была сформулирована его теория, призванная объяснить происхождение жизни так же просто и всеобъемлюще, как теория Ньютона объяснила движение и силу. Однако на Бюффона, который еще был тогда молодым человеком, большое влияние оказала короткая встреча и долгая переписка со швейцарским математиком Габриелем Крамером[178], поэтому его интересы были сосредоточены в области чистой математики; именно в качестве математика он предложил свою кандидатуру в Королевскую академию наук.