Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной - Стивен Строгац

Рассмотрим, к примеру, влияние Ньютона на Томаса Джефферсона – архитектора, изобретателя, фермера, третьего президента Соединенных Штатов и автора Декларации независимости[277]. Отголоски влияния Ньютона прослеживаются по всей Декларации. С самого начала фраза «Мы считаем очевидными истинами» отражает структуру документа. Как Евклид в своих «Началах», а Ньютон – в своих, Джефферсон начал с аксиом, самоочевидных истин, а затем с помощью логики вывел из них ряд неизбежных следствий, важнейшим из которых было право колоний выйти из-под британского правления. Согласно Декларации, такое право предоставляют законы природы и творец природы. (Кстати, обратите внимание на постньютоновский деизм, подразумеваемый в порядке Джефферсона: Бог следует после законов природы и только в подчиненной роли, как «бог природы»[278].) Довод подкрепляется причинами, побуждающими народ к отделению от британской короны. Эти причины играют роль ньютоновских сил, приводящих в движение часовой механизм и неизбежно ведущих к последствиям – в данном случае к Американской революции.

Если вам это кажется слишком надуманным, учтите, что Джефферсон почитал Ньютона. В мрачном акте преданности он приобрел копию посмертной маски ученого. А после ухода с президентского поста писал 21 января 1812 года старому другу Джону Адамсу о том, как приятно уйти из политики: «Я отказался от газет в обмен на Тацита и Фукидида, Ньютона и Евклида и ощущаю себя намного счастливее»[279].

Увлечение Джефферсона идеями Ньютона отразилось и на его интересах в сельском хозяйстве. Он задумался о наилучшей форме отвала плуга[280] (отвал – это криволинейная часть плуга, которая поднимает и переворачивает почву, срезанную лемехом), то есть поставил вопрос в рамках эффективности: какую форму должен иметь отвал, чтобы оказывать наименьшее сопротивление поднимающемуся дерну? Поверхность отвала должна быть горизонтальной в передней части, чтобы он мог поддевать почву, а далее форма должна постепенно искривляться вплоть до перпендикулярности грунту в задней части, чтобы он мог переворачивать почву и отваливать ее в сторону.

Джефферсон попросил своего друга-математика решить эту оптимизационную задачу. Во многом его вопрос напоминал другой, сформулированный самим Ньютоном в «Началах», – о форме твердого тела, оказывающего наименьшее сопротивление при движении сквозь воду. Руководствуясь этой теорией, Джефферсон создал деревянный отвал собственной конструкции и снабдил им свой плуг.

Фонд Томаса Джефферсона в Монтичелло

В 1798 году он сообщал: «Пятилетний опыт позволяет мне сказать, что на практике он соответствует тому, что обещал в теории»[281]. Так ньютоновский анализ пришел на помощь сельскому хозяйству.

От дискретных систем к непрерывным

По большей части Ньютон применял анализ к одному или двум телам – качающемуся маятнику, летящему ядру, обращающейся вокруг Солнца планете. Решение дифференциальных уравнений для трех и более тел было кошмаром, как он понял на собственном горьком опыте. Задача взаимного притяжения Солнца, Земли и Луны уже вызывала у него головную боль. Так что об изучении всей Солнечной системы не могло быть и речи; это выходило за рамки возможностей анализа Ньютона. Как он выразился в одной из неопубликованных работ, «если я не сильно ошибаюсь, одновременное рассмотрение стольких причин движения превышает силу человеческого разума»[282],[283].

Однако, как ни странно, при увеличении числа объектов до бесконечности дифференциальные уравнения снова становились полезны, если эти объекты образовывали сплошную среду, а не дискретное множество. Вспомните разницу: дискретный набор частиц подобен набору шариков, разложенных на полу. Он дискретен в том смысле, что вы можете прикоснуться к одному шарику, потом провести пальцем по пустому пространству, затем коснуться другого шарика и так далее. Между шариками есть промежутки. В непрерывной же среде, скажем, такой, как гитарная струна, все частицы держатся вместе, и вы ведете палец вдоль струны, не отрывая. Конечно, это не совсем так, поскольку струна, как и все материальные объекты, дискретна в атомном масштабе. Но уместнее рассматривать струну как непрерывный континуум. Этот подход освобождает нас от необходимости работать с триллионами и триллионами частиц.

Обращаясь к загадкам движения и изменения непрерывных сред – как вибрируют гитарные струны, создавая музыку, или как передается тепло от горячих мест к холодным, – анализ сделал следующий большой шаг к изменению мира. Однако предварительно он изменился сам. Необходимо было расширить понимание того, что такое дифференциальные уравнения и что они могут описывать.

Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных

Когда Исаак Ньютон объяснял эллиптические орбиты планет, а Кэтрин Джонсон вычисляла траекторию полета космического корабля Джона Гленна, оба использовали класс дифференциальных уравнений под названием обыкновенные дифференциальные уравнения[284]. Слово «обыкновенный» не нужно воспринимать как уничижительное. Этим термином обозначаются дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную.