Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной - Стивен Строгац

Приняв три закона движения и закон тяготения за аксиомы и используя анализ в качестве дедуктивного инструмента, Ньютон доказал, что отсюда логически следуют все три закона Кеплера[267]. То же самое было верно для закона инерции Галилея, изохронности маятников, правила нечетных чисел для скатывания шаров и параболических дуг, по которым летят предметы. Все они были следствием закона обратных квадратов и соотношения F = ma. Такое обращение к дедуктивным рассуждениям потрясло коллег ученого и обеспокоило их по философским соображениям. Многие из них были эмпириками: они полагали, что логика применима только внутри самой математики, а природу нужно изучать путем экспериментов и наблюдений. Их ошеломила мысль, что природа обладает внутренним математическим ядром и что ее явления можно логически вывести из эмпирических аксиом вроде законов тяготения и движения.

Задача двух тел

Вопрос, который Галлей задал Ньютону, был чудовищно трудным. Он требовал преобразовать локальную информацию в глобальную, что было основной трудностью интегрального исчисления и прогнозирования, как мы обсуждали в главе 7.

Подумайте о том, как можно спрогнозировать гравитационное взаимодействие двух тел. Чтобы упростить задачу, представьте, что одно из них (Солнце) бесконечно массивно и поэтому неподвижно, в то время как другое (планета) движется вокруг него. Изначально планета находится на некотором расстоянии от Солнца, в определенном месте, и движется в заданном направлении с заданной скоростью. В следующий момент скорость планеты перемещает ее в новое положение, бесконечно близкое к тому, где она была момент назад. Поскольку местоположение изменилось, чуть-чуть изменилось и гравитационное притяжение от Солнца – и по направлению, и по величине. Эта новая сила (вычисляемая по закону обратных квадратов) влечет планету дальше и меняет ее скорость и направление движения на новую бесконечно малую величину (вычисляемую по формуле F = ma) за следующий бесконечно малый момент времени. Процесс продолжается до бесконечности. Чтобы построить полную орбиту планеты, нужно как-то объединить, сложить вместе все эти бесконечно малые локальные шажки.

Таким образом, использование F = ma в задаче двух тел – это еще одно упражнение в применении принципа бесконечности. Архимед и другие ученые использовали его для загадки кривых, Ньютон же первым применил его к загадке движения. Какой бы безнадежной ни казалась задача двух тел, Ньютон сумел решить ее с помощью основной теоремы анализа. Вместо того чтобы двигать планету вперед момент за моментом, он использовал анализ, чтобы толкать ее вперед огромными скачками, словно по волшебству. Его формулы могли предсказать, где окажется планета и с какой скоростью она будет двигаться в любой будущий момент времени, какой только можно пожелать.

Принцип бесконечности и основная теорема анализа потребовались Ньютону еще в одном отношении. При первом подходе к задаче двух тел он идеализированно представлял Солнце и планету точечными объектами. Мог ли он смоделировать их более реалистично – как колоссальные сферические объекты, коими они на самом деле и есть, – и все равно решить задачу? А если бы мог, изменились бы при этом результаты?

Это были крайне трудные вычисления при уровне развития анализа в те времена. Только представьте, что потребуется, чтобы найти чистое притяжение колоссального шара Солнца и меньшего, но все равно гигантского шара Земли. Каждый атом Солнца притягивает каждый атом Земли. Сложность в том, что все атомы находятся на разных расстояниях друг от друга. Атомы в дальней половине Солнца оказывают более слабое гравитационное воздействие на Землю, чем атомы в ближней половине. Более того, атомы в левой и правой половинах Солнца тянут Землю в разных направлениях и с разной силой в зависимости от их собственного расстояния от нашей планеты. Все эти воздействия нужно сложить. Свести воедино все части задачи было сложнее, чем все когда-либо ранее сделанное в интегральном исчислении. Сегодня же мы ее решаем с помощью пугающего тройного интеграла.

Ньютону удалось справиться с тройным интегралом и обнаружить нечто настолько красивое и простое, что даже сегодня оно кажется почти невероятным. Он установил, что можно безнаказанно считать, будто вся масса сферического Солнца сосредоточена в его центре, и то же самое верно для Земли. Его вычисления показали, что орбита планеты в любом случае будет одной и той же. Иными словами, он мог заменить гигантские шары бесконечно малыми точками, не допуская при этом никакой ошибки. Воистину ложь, раскрывающая правду!

Однако в расчетах Ньютона содержались другие приближения, влияние которых было более серьезным и проблематичным. Ради простоты он полностью проигнорировал гравитационное воздействие остальных планет. К тому же он продолжал считать, что гравитация действует мгновенно. Он знал, что оба допущения не могут быть верными, но без них ничего не получалось. Ньютон также признавался, что не имеет понятия, что собой представляет гравитация и почему она подчиняется математическому описанию, которое он дал. Он понимал, что критики отнесутся с подозрением ко всей его программе. Чтобы сделать работу максимально убедительной и доходчивой, он изложил ее на языке геометрии – золотом стандарте строгости, принятом в то время. Но это была не традиционная евклидова геометрия, а своеобразная неповторимая смесь классической геометрии и анализа. Это был анализ в геометрических одеждах.

Тем не менее он сделал все возможное, чтобы придать работе классический вид. Стиль его «Начал» приближен к евклидовым «Началам». Следуя формату классической геометрии, Ньютон начинает с аксиом и постулатов – своих законов движения и тяготения – и рассматривает их как базовые камни фундамента. На их основе он строит здание из лемм, предложений, теорем и доказательств, выведенных друг из друга с помощью логики и составляющих неразрывную цепочку вплоть до исходных аксиом. Так же как Евклид подарил миру свои бессмертные тринадцать книг «Начал»[268], так и Ньютон дал миру три собственные книги. Без ложной скромности третью он назвал «Системой Мира».

Его система рисовала природу в виде механизма. В последующие годы ее часто будут сравнивать с часовым механизмом, его вращающимися шестеренками и растягивающимися пружинами: все части последовательно двигаются – настоящее чудо причины и следствия. Применяя основную теорему анализа, вооружившись степенными рядами, изобретательностью и удачей, Ньютон мог точно решать свои дифференциальные уравнения. Вместо того чтобы двигаться вперед момент за моментом, он мог совершить существенный скачок и предсказать положение своего часового механизма далеко в будущем, как делал в задаче двух тел для планеты, вращающейся вокруг Солнца.