Величайшие математические задачи - Йен Стюарт

В 1960-е гг., когда компьютеры только-только входили в нашу жизнь, одна из первых таких машин появилась в Кембриджском университете. Называлась она EDSAC, что означало «электронно-счетная машина с запоминающим устройством на линиях задержки». Название показывает, как гордились создатели этой машины устройством ее памяти, посылавшей звуковые волны по трубкам с ртутью и затем направлявшей их вновь к началу. Размером этот компьютер был с большой грузовик. Я хорошо помню, как в 1963 г. мне устроили экскурсию по нему. Цепи компьютера были сделаны на основе тысяч ключей — электронных ламп. Вдоль всех стен стояли широкие стеллажи с запасными лампами, которые то и дело надо было менять — так часто они сгорали.

Питера Свиннертон-Дайера эллиптические кривые интересовали с диофантовой стороны: в первую очередь ему хотелось понять, сколько существовало бы решений, если заменить кривую ее аналогом на конечном поле с простым числом p элементов. Иными словами, ему хотелось изучить применявшуюся Гауссом уловку с работой «по модулю p». При помощи компьютера он вычислял эти числа для большого числа простых и искал среди них интересные закономерности.

Постепенно у него появились определенные подозрения. Его научный консультант Джон Кассельс испытывал сильные сомнения, но по мере появления все новых и новых данных он тоже поверил, что в этой идее что-то есть. Компьютерные эксперименты, проведенные Свиннертон-Дайером, указывали вот на что. У специалистов по теории чисел есть стандартный метод записи любого уравнения в целых числах по определенному модулю — вспомните модулярную арифметику или «арифметику часов» по модулю 12 в главе 2. Поскольку все законы алгебры приложимы в этом варианте арифметики, любое решение первоначального уравнения становится и решением «урезанного» уравнения по этому модулю. Все задействованные числа образуют конечный список — к примеру, для арифметики часов в этом списке всего 12 чисел, — поэтому все решения можно найти методом проб и ошибок. В частности, для каждого заданного модуля можно подсчитать, сколько существует решений. Кроме того, решения по каждому модулю накладывают определенные ограничения на решения первоначального уравнения и иногда даже помогают доказать, что такие решения существуют. Поэтому у специалистов по теории чисел выработался рефлекс рассматривать варианты любого уравнения по разным модулям, и простые числа особенно полезны в качестве таковых.

Таким образом, чтобы выяснить что-нибудь полезное об эллиптической кривой, можно рассмотреть все простые числа до определенного предела. Для каждого простого числа можно определить, сколько точек лежит на кривой по модулю этого числа. Берч заметил, что компьютерные эксперименты Свиннертон-Дайера показывают интересную закономерность, если разделить число таких точек на простое число, по модулю которого все рассматривалось. Затем следует перемножить результаты такого деления для всех простых чисел до заданного предела включительно и отложить результаты для последовательных простых чисел на логарифмической бумаге. Интересно, что все данные ложатся недалеко от прямой линии, крутизна которой представляет собой ранг данной эллиптической кривой. Это позволяло предложить гипотетическую формулу для числа решений, связанных с любым простым модулем{40}.

Источник этой формулы, однако, не теория чисел: в ней задействован комплексный анализ, очень любимый в XIX в. и, по счастливому стечению обстоятельств, гораздо более элегантный, чем старомодный действительный анализ. В главе 9, посвященной гипотезе Римана, мы видели, как анализ вытягивает свои щупальца во всех направлениях и проникает в близкие и не очень области математики. Особенно удивительные и мощные связи возникли у него с теорией чисел. Формула Свиннертон-Дайера позволила выдвинуть более подробную гипотезу о типе комплексной функции (я упоминал ее в главе 9), известной как L-функция Дирихле. Эта функция аналогична для эллиптических кривых известной дзета-функции Римана. Эти два математика, очевидно, пытались обогнать время — ведь тогда не было даже наверняка известно, что у каждой эллиптической кривой есть L-функция Дирихле. Это было достаточно произвольное предположение, в пользу которого почти не было данных, но чем дальше шло развитие, тем правдоподобнее казалось это предположение. Это был не прыжок в неведомое, а изумительно точное и дальновидное проявление утонченной математической интуиции. Вместо того чтобы подняться на плечах гигантов, как чаще всего бывает в науке, Берч и Свиннертон-Дайер поднялись на собственных плечах — они были способны самостоятельно держаться в воздухе.

Основной инструмент комплексного анализа — выражение функции в виде степенного ряда, похожего на многочлен, но содержащего бесконечно много слагаемых с все более и более высокими степенями переменной, которую в этой области традиционно обозначают s. Чтобы выяснить, что функция делает около какой-то конкретной точки, скажем, 1, следует использовать степени (s − 1). Гипотеза Берча — Свиннертон-Дайера утверждает, что если разложение L-функции Дирихле в степенной ряд возле 1 выглядит как

где c — ненулевая константа, то ранг кривой равен r, и наоборот. На языке комплексного анализа это утверждение принимает вид: L (C, s) имеет в точке s = 1 нуль r-го порядка.

Главное здесь — не точное выражение, о котором идет речь; главное — то, что для любой заданной эллиптической кривой существует аналитическая формула с использованием соответствующей комплексной функции, при помощи которой можно точно узнать, сколько независимых рациональных решений необходимо найти, чтобы определить их все.

Возможно, простейший способ продемонстрировать, что гипотеза Берча — Свиннертон-Дайера имеет смысл и значение, — это упомянуть о том, что максимальный известный ранг равен 28. Иными словами, существует эллиптическая кривая с набором из 29 рациональных решений, позволяющим получить все остальные рациональные решения. Более того, меньшего набора рациональных решений, который позволял бы это сделать, не существует. Хотя известно, что кривые такого ранга существуют, конкретных примеров до сих пор не найдено. Максимальный ранг, для которого имеется конкретный пример, равен 18. Соответствующую кривую нашел в 2006 г. Ноам Элкис, и выглядит она так:

Я привел нестандартный вид «y² = кубический многочлен от x», но данную запись можно привести к стандартному виду за счет дополнительного увеличения коэффициентов. Считается, что ранг может быть сколь угодно большим, но это до сих пор не доказано. Если судить по уже имеющимся данным, ранг не может быть больше некоего фиксированного числа.