Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам - Альфред Позаментье

и так далее

Перейдем теперь к задачам, которые наиболее эффективно решаются путем распознавания закономерности, особенно когда такая закономерность не очевидна.

Какая цифра находится в разряде единиц у числа, где — это показатели степени?

К сожалению, находятся люди, которые полагают, что для определения значения этого числа нужно последовательно возвести основание в степень вплоть до последнего показателя. Такой подход не может быть успешным!

Попробуем выяснить, существует ли какая-то закономерность в числах по мере повышения показателя степени в соответствии с условиями задачи. По мере повышения показателя основания 2 цифры в разряде единиц изменяются в последовательности 2, 4, 8, 6.

Результат на третьей ступени наших вычислений ниже кратен 4, а любой результат возведения 2 в степень, кратный 4, дает число, у которого в разряде единиц стоит 6.

Таким образом, у нашего числа в разряде единиц находится цифра 6.

В каждой приведенной ниже прямоугольной решетке содержится определенное количество точек. Сколько точек будет на рис. 49?

Очевидный подход — это последовательное построение решеток вплоть до рис. 49, в котором можно подсчитать точки. Это займет много времени и потребует огромного терпения, не говоря уже о количестве бумаги. Вместе с тем наверняка должен существовать более практичный подход к решению этой задачи.

Попробуем организовать данные и поискать закономерность. Перенесем в таблицу то, что нам уже известно.

Ну вот и закономерность. Высота на 2 больше номера рисунка, а ширина на 1 больше номера рисунка. Для рис. n мы получаем:

Таким образом, на рис. 49 будет 51 × 50 = 2550 точек.

Круг можно разделить на семь частей с помощью трех прямых линий. Какое максимальное количество частей можно получить при делении круга с помощью семи прямых линий?

Обычно при решении этой задачи берут круг и проводят через него семь линий так, чтобы любые три из них не пересекались, т. е. не имели общей точки. Если проделать такую операцию аккуратно, то она должна привести к правильному ответу. Вместе с тем определение максимально возможного количества частей может быть сложным.

При решении этой задачи интересно посмотреть, не проявится ли какая закономерность при увеличении количества линий, делящих круг на части, при условии, что никакие три из них не должны иметь общей точки. Понятно, что одна линия делит круг всего на две части. Две линии позволяют разделить круг на четыре части. В таблице ниже показано количество частей, на которые можно разделить круг с помощью заданного количества линий, ни одна тройка которых не имеет общей точки.

Закономерность, похоже, наблюдается в разнице, которая увеличивается каждый раз на единицу. Таким образом, протестировав следующий вариант, в котором пять линий предположительно дают 16 частей, мы можем, по всей видимости, составить на основе выявленной закономерности следующую таблицу.

Итак, с помощью семи линий можно разделить круг на 29 частей.

Нам дают карту с направлениями движения вдоль улиц, как показано на рис. 2.1.

Сколько существует маршрутов из точки A в точку L?

Самый очевидный подход — просто подсчитать возможные маршруты. Иными словами, определять маршруты по одному за раз и суммировать результаты. Например, один маршрут — это A-B-C — D-E-F-G-H-I-J-K-L, другой — A-C-D-E-G-K-L и т. д. Вместе с тем, как вы видите, такой путь довольно громоздок, и к тому же при его использовании трудно избежать дублирования маршрутов. А вариантов здесь порядочно!

Воспользуемся стратегией поиска закономерности. Допустим, мы хотим попасть из точки A в точку B. Здесь имеется только один маршрут (A-B). В точку C можно добраться из точки A уже двумя путями (A-B-C и A-C). Из точки A в точку D существуют три маршрута, а именно (A-B-D, A-C-D, A-B-C-D). Если продолжить подсчет таким образом, то мы получим следующее количество маршрутов в каждую точку вплоть до точки F.