Величайшие математические задачи - Йен Стюарт

Во введении я упоминал список Гильберта из 23 крупных проблем, озвученный в 1900 г. В большинстве своем они уже решены, и может показаться, что смелый призыв ученого «Мы должны знать, и мы будем знать» оправдался. Однако Гильберт сказал также: «В математике ни о чем нельзя утверждать, что мы никогда этого не узнаем». Курт Гедель расправился с этой идеей, доказав свою теорему о неполноте: некоторые математические задачи могут не иметь решения в рамках обычной логической математики. Их решение не просто невозможно, как извлечение квадратуры круга — они могут быть неразрешимы в том смысле, что для них не существует ни доказательства, ни опровержения. Вероятно, именно такая судьба ждет некоторые из сегодняшних великих задач математики. Но я был бы удивлен, если бы в их число вошла гипотеза Римана, и поражен, если бы кто-то смог доказать ее неразрешимость. С другой стороны, проблема P/NP-алгоритмов вполне может оказаться неразрешимой или подпадать под какое-то другое формальное ограничение вида «это не может быть сделано, потому что…». Есть в этой задаче что-то, знаете ли, эдакое…

Подозреваю, что к концу XXI в. у нас все-таки будут доказательства гипотезы Римана, гипотезы Берча — Свиннертон-Дайера и гипотезы массовой щели, а также опровержение гипотезы Ходжа и регулярности решений уравнения Навье — Стокса в трех измерениях. Мне кажется, что задача P/NP-алгоритмов пока останется нерешенной, но падет где-нибудь в XXII в. Хотя понятно, что кто-нибудь завтра же опровергнет гипотезу Римана, а через неделю докажет, что P не совпадает с NP.

Но, конечно, безопаснее ограничиваться общими наблюдениями, потому что мы всегда можем поучиться у истории. Так что я почти уверен: к тому моменту, когда семь задач тысячелетия наконец решат, многие из них будут восприниматься как мелкие исторические курьезы. «О, когда-то это считалось важным?» Так произошло с некоторыми проблемами из списка Гильберта. Кроме того, можно быть уверенным, что через 50 лет появится несколько крупных областей математики, которых сегодня не существует даже в проекте. Тогда выяснится, что кое-какие базовые примеры и некоторые рудиментарные теоремы в этих областях известны уже давно, но никто не догадывался, что эти случайные кусочки смальты представляют собой фрагменты прекрасной мозаичной картины — глубокой и значительной новой области математики. В свое время так произошло с теорией групп, матричной алгеброй, фракталами и теорией хаоса. Не сомневаюсь, что это произойдет еще не раз, потому что это стандартный путь развития математики.

Существует две основные движущие силы возникновения новых областей. С одной стороны, их порождает внутренняя структура самой математики, а с другой — они являются ответом на новые вопросы о внешнем мире; часто оба фактора действуют одновременно. Как у Пуанкаре процесс решения задачи включал в себя три этапа — подготовку, созревание и озарение, — так и отношения между математикой и ее приложениями не сводятся к простой схеме: физика ставит вопрос, математика дает на него ответ, и дело с концом. На самом деле мы видим сложную систему обмена вопросами и идеями: новые достижения в математике служат стимулами для дальнейших экспериментов, наблюдений или теорий, а те, в свою очередь, мотивируют новые математические исследования. И каждый узел этой сети оказывается, при ближайшем рассмотрении, самостоятельной сетью того же типа, но меньших масштабов.

Окружающий мир стал гораздо обширнее и богаче, чем прежде. До недавнего времени основным внешним источником вдохновения для математики была физика. Некоторые другие области науки тоже играли свою роль: биология и социология стимулировали развитие теории вероятностей и статистики, а философия заметно влияла на математическую логику. В будущем нам предстоит увидеть, как математика начнет все более активно взаимодействовать с биологией, медициной, компьютерными науками, финансами, экономикой, социологией и, очень возможно, политикой, а также киноиндустрией и спортом. Я подозреваю, что некоторые из ближайших к нам по времени великих задач возникнут в биологии, поскольку с ней уже установилась прочная связь. Одна из тенденций — взрывной рост возможностей по сбору биологических и биохимических данных. Так, сегодня небольшие геномы можно секвенировать при помощи устройства размером с флешку (методом нанопорового анализа). Очень скоро то же можно будет проделывать и с большими геномами при помощи тех же или других технологий. В любом случае большая часть соответствующих технологий уже существует.

Потенциально уже эти достижения могут в значительной мере изменить обстановку. Однако нужно еще разобраться, что все эти данные означают. Вообще-то, биология — наука не о данных, а о процессах. Эволюция — это процесс, как и деление клетки, развитие зародыша, зарождение раковой опухоли, поведение толпы, работа мозга и динамика глобальной экосистемы. Лучший известный на сегодня способ понять фундаментальные свойства процесса и разобраться в том, что в нем происходит, как и почему, — это математика. Так что скоро появятся великие задачи новых типов — как разворачивается динамика процесса в присутствии сложной, но очень конкретной организующей информации (ДНК-последовательностей); как генетические изменения взаимодействуют со средой, сдерживая эволюцию; как правила роста, деления, движения, адгезии и гибели клетки формируют развивающийся организм; как поток электронов и химических веществ в сети нервных клеток определяет восприятие и действия организма.

Вычислительные средства — еще один источник новой математики, успевший уже проявить себя. Обычно они воспринимаются как инструмент математических действий, но не стоит забывать, что математика в равной степени является инструментом понимания и организации вычислений. Этот двусторонний обмен приобретает все большее значение для благополучия и развития обеих областей — не исключено, что когда-нибудь в будущем они просто сольются воедино. Некоторые математики считают, что их с самого начала не следовало разделять. Из множества существующих уже сегодня в этой области тенденций на ум приходит вопрос о работе с очень большими массивами данных. Этот вопрос имеет отношение не только к ДНК, о чем уже упоминалось, но и к задаче предсказания землетрясений, к расчету эволюционных процессов, к проблемам глобального климата, фондового рынка, международных финансов и новых технологий. Наша задача — научиться использовать большие массивы данных для проверки и отладки математических моделей реального мира, которые в дальнейшем дадут нам в руки подлинный контроль над сложнейшими системами.

В отношении того, в чем лично я разбираюсь лучше всего, предсказания в основном негативные, но в то же время это подтверждает, что креативность математического сообщества по-прежнему не снижается. Все математики-исследователи время от времени чувствуют, что их предмет как будто обладает собственным сознанием. Задачи решаются так, как это нужно математике, а не математикам. Мы выбираем, какие вопросы рассматривать, но мы не можем выбирать, какие у этих вопросов должны быть ответы. Вообще, такое ощущение характерно для двух крупных школ, которые отличает разное отношение к природе математики. Последователи Платона считают, что «идеальные формы» математики ведут своего рода независимое существование «где-то там», в некоем собственном царстве, отличном от материального мира. (Существуют более тонкие формулировки, которые, вероятно, звучат более здраво, но суть именно в этом.) Вторые видят в математике общечеловеческую концепцию. Но, в отличие от большинства подобных концепций — законодательной системы, денег, этики, морали, математика представляет собой конструкцию с прочной логической основой. Существуют серьезные ограничения на то, какие утверждения вы можете или не можете предлагать остальным. Именно из-за этих ограничений возникает впечатление, что математика сама решает, что ей делать и как развиваться; они же создают у математиков ощущение, что их наука существует сама по себе вне зоны человеческой деятельности. Мне представляется, что платонизм — это описание не того, что есть математика на самом деле, а того, как ощущает математику человек, в ней работающий. Примерно так человек, увидевший розу, кровь или светофор, живо ощущает «красное». Философы называют подобные ощущения «первичными», некоторые из них даже считают, что наше ощущение свободы воли на самом деле представляет собой первичное ощущение того, как мозг принимает решения. Выбирая из нескольких вариантов, мы уверены, что действительно свободны в своем выборе, — хотя не исключено, что динамика мозга в каком-то смысле детерминирована. Тогда платонизм — это первичное ощущение участия в общечеловеческом процессе, ограниченном жесткими рамками логических построений.