Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей - Алексей Михайлович Семихатов

картин. Число реализаций огромно для каждой макроскопической картины, но для некоторых картин оно «еще огромнее» или даже «намного огромнее», чем для других. Только из-за того, что у них больше реализаций, такие картины встречаются (намного) чаще; а мы в результате наблюдаем необратимое развитие событий – смешивание, выравнивание температур и т. п. При растворении капли чернил в воде (рис. 9.7) имеется намного больше таких способов расселить молекулы по состояниям, что мы наблюдаем картину «чернила растворены в воде», чем способов, которые дают картину «чернила сконцентрированы в виде капли». При смешивании двух газов все молекулы газа 1 исходно находятся в одной части, а все молекулы газа 2 – в другой части объема, разделенные перегородкой. После того как перегородку убирают, у молекул обоих газов появляется больше состояний. Доступ к большему числу состояний дает большее число возможных реализаций для макроскопической картины «два газа перемешаны в полном объеме». Молекулы просто разбегаются по всем доступным для них состояниям и беспрестанно меняют эти состояния, а у нас перед глазами оказываются те макроскопические картины, которые с большим отрывом лидируют по числу реализаций, в результате чего мы и видим необратимые процессы: температуры выравниваются, чернила растворяются в воде, газы перемешиваются.

Рис. 9.7. Диффузия чернил в воде

Причина необратимости – доступность большего числа состояний

Число возможных реализаций (способов «раздачи ролей» молекулам) для данной макроскопической картины и есть, по существу, энтропия. Почти энтропия. Числа эти большие, и нам будет удобно сэкономить на записи, выражая их в виде 2X и принимая X за меру числа реализаций. Экономия заметная: если, скажем, X = 100,25, то 2X – это 1 507 499 113 128 880 389 969 770 996 486 реализаций. Итак, предположив на секунду, что мы можем сосчитать все способы расселить молекулы по состояниям так, чтобы реализовалась выбранная макроскопическая картина, мы получим какое-то «длинное» число; записав его в виде 2X, находим соответствующее «короткое» число X. Это и есть энтропия, выраженная в битах – как количество информации. Оно показывает наше незнание о движении молекул – о том, каким именно из возможных способов они «сейчас» реализуют данную макроскопическую картину. Правда, биты – это «голые числа», не несущие в себе никаких градусов, килограммов, секунд, джоулей и т. п., а исходное определение энтропии выражает ее в единицах энергии, деленных на градусы. Величина, которая спасает дело в таких случаях, нам уже встречалась – это постоянная kB = (маловыразительное число) · Дж/градус. Мы просто умножим число бит X на kB и, по причинам совершенно техническим, умножим еще на 0,693.[179] Получится желаемая энтропия, выраженная через джоули и градусы: S = 0,693 kB X. Почти это и высечено на надгробии Больцмана, только постоянная kB, которую мы называем постоянной Больцмана и поэтому включаем в обозначение букву B (Boltzmann), там обозначена просто как k.[180]

Формула Больцмана относится к системам, которые изолированы от внешнего мира и не обмениваются с ним ничем, даже теплом: кофе в идеальном термосе. Этот ваш кофе, как мы помним, буквально несет внутри себя воплощение демократии и равенства возможностей: все, что не запрещено, может там реализоваться, причем с одинаковыми вероятностями. Для этих возможностей теперь есть количественная мера, о чем, быть может, стоит вспомнить, в следующий раз наливая кофе.

Тепловое равновесие – максимум энтропии

Зафиксируем новое понимание, почему энтропия возрастает: из-за доступа к большему числу состояний. А останавливается рост энтропии в каждой конкретной системе тогда, когда молекулам доступно максимальное число состояний, и поэтому имеется больше всего реализаций одной и той же макроскопической картины (а картины, у которых еще больше реализаций, недостижимы в имеющихся условиях). Именно это мы называем равновесием (техническое название – тепловое или термодинамическое равновесие). Отсутствуют не только потоки тепла, но и всякие макроскопические изменения. Пока равновесие еще не установилось, макроскопическая картина характеризуется тем, что «здесь чуть теплее, а там чуть холоднее»; «здесь больше чернил, а там – воды»; любые такие условия означают наличие некоторых ограничений на расселение молекул по состояниям и потому сравнительно меньшее количество реализаций. В равновесии же таких ограничений просто нет, и число реализаций, а с ним и энтропия максимальны. Все то вокруг нас, что находится в тепловом равновесии, включая ваш остывший кофе в чашке, добилось максимального значения энтропии, возможного в данных условиях. Этот принцип оказался могущественным средством изучения природы: чтобы узнать, например, как молекулы в воздухе распределены по скоростям (много ли совсем медленных или радикально быстрых по сравнению со средней скоростью), достаточно ответить на вопрос, какое распределение обеспечивает максимальную энтропию; и целая история, как мы скоро увидим, произошла, когда таким же образом попробовали выяснить, как свет устраивается в равновесии с веществом.

Больцмановское выражение энтропии «через молекулы» – смелая формула, потому что, не принимая никаких дополнительных предположений, крайне трудно установить ее буквальное совпадение с энтропией, определенной «через порции тепла». Это видно уже из того, что в определении энтропии через число реализаций макроскопической картины участвуют все те расселения молекул по состояниям, «между которыми мы не видим разницы» – что оставляет место для произвола. Обоснование формулы Больцмана состоит в том, что «его» энтропия ведет себя так же, как та, другая в зависимости от таких величин, как температура, давление и т. д., и точно так же участвует в соотношениях между разнообразными величинами. Это убедительное обоснование (хотя и оно, строго говоря, требует некоторых допущений), но все же остается место для небольших сомнений: а что, если какое-то слегка измененное определение энтропии «через молекулы» ведет себя так же хорошо и, кто знает, в каких-нибудь аспектах даже лучше?

И действительно ли из законов движения строго следует, что энтропия, определенная по Больцману, никогда не убывает?

*****

Неубывать иль нет?.Здесь начинается второй акт драмы.

Неубывание энтропии и его связь с первопринципами – вероятно, наиболее широко обсуждавшаяся тема во всей классической картине мироздания. Основная причина – связь с необратимостью, а потому и с направлением времени. Где-то по дороге от молекул к «нам», буквально от отдельных молекул к функционированию Вселенной в целом, происходит труднообъяснимое. Законы, по которым взаимодействуют любые две молекулы, одинаково хорошо описывают происходящее в обе стороны по