Как не ошибаться. Сила математического мышления - Джордан Элленберг

Если вам кажется знакомым столь странное утверждение, что две прямые не могут быть параллельными, то причина в том, что мы уже сталкивались с чем-то подобным. Это тот же феномен, что и в случае проективной плоскости, которую Брунеллески и его друзья-художники использовали для разработки теории перспективы[307]. Там также любые две прямые пересекались. И это не случайное совпадение: геометрия точек и прямых Римана – это то же самое, что и геометрия проективной плоскости.

Если интерпретировать пять аксиом в виде утверждений по поводу точек и прямых на сфере, первые четыре аксиомы верны, а пятая нет. Если бы пятая аксиома была логическим следствием первых четырех аксиом, существование сферы представляло бы противоречие: пятая аксиома была бы и истинной (в силу истинности первых четырех аксиом), и нет (в силу того, что мы знаем о сферах). Согласно старому доброму доказательству от противного это означает, что сфер не существует. Но сферы все же существуют, а значит, пятую аксиому невозможно вывести из первых четырех аксиом. Что и требовалось доказать.

На первый взгляд может показаться, что для выведения этого пятна с пола понадобилось слишком много времени и труда. Однако мотивация для доказательства утверждений такого рода заключена не просто в одержимости эстетикой (хотя я не могу отрицать тот факт, что такие чувства играют определенную роль). Дело вот в чем: как только становится понятным, что первые четыре аксиомы применимы ко многим разным геометриям, тогда любая теорема, доказанная Евклидом на основании этих аксиом, должна быть истинной не только в евклидовой геометрии, но и во всех остальных геометриях, в которых верны эти аксиомы.

И эти теоремы касаются не просто абстрактных геометрий, созданных только ради того, чтобы доказать какую-то мысль. В постэйнштейновскую эпоху мы понимаем, что неевклидова геометрия – не просто игра. Нравится вам это или нет, но именно так в действительности выглядит пространственно-временной континуум.

Такая история повторяется в области математики снова и снова: мы разрабатываем метод, применимый к решению одной задачи, и, если это хороший метод (то есть метод, содержащий поистине новую идею), в большинстве случаев мы обнаруживаем, что то же самое доказательство работает во многих ситуациях, которые могут отличаться от исходной ситуации в такой же мере, в какой сфера отличается от плоскости, или даже больше. В настоящее время молодой итальянский математик Оливия Карамелло создает настоящую сенсацию своими заявлениями, что теории, которые управляют различными областями математики, по сути своей тесно взаимосвязаны друг с другом (если вы отдаете предпочтение формальным терминам, они «классифицированы в соответствии с одними и теми же топосами Гротендика»). Следовательно, теоремы, которые доказаны в одной области математики, можно спокойно перенести в другую область, которая кажется на первый взгляд совершенно иной. Сейчас слишком рано говорить, удалось ли Карамелло создать «странный новый мир», как это сделал Бойяи, но ее работа в значительной степени согласуется с давней традицией в математике, частью которой был Бойяи.

Эта традиция обозначается термином «формализм». Именно об этом говорил Годфри Гарольд Харди, когда с восхищением отметил, что математики XIX столетия начали наконец спрашивать «как определить 1 − 1 + 1 − 1 +…», а не «что есть 1 − 1 + 1 − 1 +…». Это позволяло им избежать «ненужных затруднений», преследовавших математиков более ранних времен. Согласно самой чистой версии этой точки зрения, математика становится своего рода игрой с участием символов и слов. Утверждение можно считать теоремой, если его выводят из аксиом посредством логических операций. Но что к чему отсылают аксиомы и теоремы, что они означают – этим пусть занимается кто-то другой. Что такое Точка, Прямая, лягушка или кумкват? Это может быть все, что ведет себя так, как того требуют аксиомы, а смысл можно выбирать, исходя из текущих потребностей. Сугубо формальная геометрия – это геометрия, которой можно заниматься, даже если вы никогда не видели или не представляли себе точку или прямую; это геометрия, в которой не имеет значения, как на самом деле выглядят точки и прямые в обычном их понимании.

Безусловно, Харди посчитал бы душевные страдания Кондорсе совершенно лишними. Он посоветовал бы ему пытаться выяснить не то, кто в действительности самый лучший кандидат или даже кого избиратели на самом деле хотели бы видеть на соответствующей должности, а скорее, какого кандидата мы должны определить как выбор народа. И такой формалистский подход к демократии получил достаточно большое распространение в современном свободном мире. Во время президентских выборов в штате Флорида в 2000 году, результаты которых были оспорены в суде, тысячи избирателей округа Палм-Бич, которые были убеждены в том, что голосуют за Альберта Гора, на самом деле отдали свои голоса за кандидата от палеоконсервативной Партии реформ Патрика Бьюкенена из-за некорректного оформления «бюллетеня-бабочки». Если Гор получил бы эти голоса, он победил бы на выборах в штате Флорида и стал бы президентом США.

Однако Гор не получил эти голоса; на самом деле он даже не боролся за них всерьез. Наша избирательная система носит формалистский характер: значение имеет отметка, сделанная на бюллетене, а не то, о чем думает избиратель, когда делает эту отметку. У Кондорсе вызвали бы обеспокоенность и те люди, которые проголосовали за Ральфа Нейдера. При условии (которое кажется вполне допустимым), что большинство этих людей отдавали предпочтение Гору перед Бушем, именно Гор является тем кандидатом, который должен был выиграть выборы согласно аксиоме Кондорсе: большинство избирателей предпочитали Гора Бушу, а еще более значительное большинство отдавали ему предпочтение перед Нейдером. Однако все эти предпочтения не играют никакой роли в действующей избирательной системе. Мы определяем волю народа как отметку, которая чаще всего появляется на листах бумаги, собранных в кабинках для голосования.

Безусловно, даже это количество можно оспорить. Как подсчитывать бюллетени, в которых перфорируемое отверстие пробито не полностью? Что делать с результатами голосования, переданными по почте с зарубежных военных баз, если нет возможности удостовериться, что эти голоса были отданы избирателями в день выборов или накануне? И в какой степени в округах штата Флорида следовало провести пересчет избирательных бюллетеней в попытке как можно более точно определить результаты голосования?

Последний вопрос был передан на рассмотрение Верховного суда США, где судьи приняли окончательное решение по данному делу. Команда Гора обратилась с просьбой о повторном подсчете голосов в некоторых округах, и Верховный суд штата Флорида дал свое согласие, однако Верховный суд США отменил это решение, зафиксировав результаты выборов, согласно которым Буш одержал победу с перевесом 537 голосов{273}. Дальнейший подсчет, по всей видимости, привел бы к более точному учету голосов, но это, по мнению суда, не является высшей целью выборов. Члены суда заявили, что пересчитывать голоса в некоторых округах было бы несправедливо по отношению к тем избирателям, голоса которых повторно не подсчитывались. Задача государства не в том, чтобы подсчитать голоса как можно точнее (то есть знать, что произошло на самом деле), а в том, чтобы подчиняться формальному протоколу, который говорит нам (в терминах Харди), кого следует определить в качестве победителя.