Как не ошибаться. Сила математического мышления - Джордан Элленберг

Согласно этой точке зрения, трудные правовые вопросы, то есть те дела, которые передаются в Верховный суд, – это вопросы, которые не определены аксиомами. Следовательно, судьи находятся в том же положении, в котором был Паскаль, когда обнаружил, что не может обосновать свой способ получения любого вывода о существовании Бога. Тем не менее единственное, что нам остается, по замечанию Паскаля, – играть в эту игру. Суд должен решить, делать ли ему это в соответствии с традиционным способом построения юридических рассуждений или нет. Иногда суд идет по пути Паскаля: если такие рассуждения не позволяют вынести вердикт, следует принять решение, которое повлечет за собой самые лучшие последствия. По мнению Познера, именно по этому пути пошли члены Верховного суда, в числе которых был и Скалиа, в процессе рассмотрения дела «Буш против Гора». Познер утверждает, что принятое Верховным судом решение на самом деле не было обосновано ни конституцией, ни судебным прецедентом. Это было решение, принятое из прагматических соображений: избежать угрозы многомесячного избирательного хаоса.

Формализму свойственна строгая элегантность, представляющая интерес для таких людей, как Годфри Гарольд Харди, Антонин Скалиа и я сам, которые получают истинное удовольствие от красивой строгой теории, не допускающей никаких противоречий. Однако нелегко неизменно придерживаться принципов такого рода, да и не совсем понятно, целесообразно ли это. Даже судья Скалиа время от времени признавал, что, когда буква закона требует принятия абсурдных решений, от буквальных формулировок необходимо отказаться в пользу правдоподобного предположения по поводу того, что имел в виду Конгресс{277}. Аналогичным образом ни один ученый не хочет быть строго ограниченным правилами статистической значимости, о каких бы принципах ни шла речь. Когда вы проводите два эксперимента, один из которых тестирует курс лечения, кажущийся теоретически многообещающим, а другой проверяет, демонстрирует ли дохлый лосось эмоциональную реакцию на показанные ему фотографии, и оба эксперимента дают успешный результат с р-значением 0,03, на самом деле вам не следует одинаково обращаться с этими двумя гипотезами. Вы должны оценивать абсурдные выводы с повышенным скептицизмом, и к черту правила.

Величайшим сторонником формализма в математике был немецкий математик Давид Гильберт; его список двадцати трех проблем, представленный в Париже, на Международном конгрессе математиков в 1900 году, определил направление развития математики на большую часть ХХ столетия. Гильберт – математик, вызывающий такое глубокое почтение, что любая работа, имеющая хотя бы косвенное отношение к его проблемам, приобретает особый блеск даже сто лет спустя. Однажды я познакомился с историком немецкой культуры из Колумбуса (штат Огайо), который рассказал мне, что именно склонность Гильберта носить сандалии с носками объясняет тот факт, что этот стиль до сих пор достаточно популярен среди математиков. Я не нашел никаких свидетельств, что это действительно так, но мне нравится так считать, поскольку это позволяет составить правильное представление о масштабе его влияния.

Значительное количество проблем Гильберта было вскоре решено; другие проблемы, например под номером восемнадцать – о максимально плотной упаковке сфер, – были решены только недавно. Некоторые проблемы до сих пор остаются нерешенными, и многие математики активно пытаются найти их решение. В частности, за решение проблемы под номером восемь (доказательство гипотезы Римана) Фонд Клэя выплатит вознаграждение в размере одного миллион долларов. Минимум в одном случае великий Гильберт ошибся. В проблеме под номером десять он предложил найти алгоритм, позволявший взять любое уравнение и определить, есть ли у него решение, при котором все переменные принимают целочисленные значения, но в 1960–1970-е годы математики Мартин Дэвис, Юрий Матиясевич, Хилари Патнэм и Джулия Робинсон опубликовали ряд работ, в которых было доказано, что такого алгоритма не существует. (Специалисты по теории чисел вздохнули с облегчением: было бы немного досадно, если оказалось бы, что некий формальный алгоритм способен автоматически решать задачи, на которые мы тратим столько лет.)

От всех остальных проблем Гильберта отличалась проблема под номером два. В ней был сформулирован не столько математический вопрос, сколько вопрос об отношении к самой математике. Свое описание этой задачи Гильберт начал с безоговорочной поддержки формалистского подхода к математике:

К тому времени, когда Гильберт выступал в Париже с докладом, он уже пересмотрел аксиомы Евклида и переписал их так, чтобы исключить любые следы неопределенности; при этом он неукоснительно придерживался принципа полного вытеснения геометрической интуиции. Его версия этих аксиом действительно сохраняет свой смысл даже в случае, если заменить точки и прямые лягушками и кумкватами. Сам Гильберт говорил об этом так: «Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках»[311]{279}. Одним из первых приверженцев новой геометрии был молодой Абрахам Вальд, который еще во время учебы в Вене показал, что некоторые аксиомы Гильберта можно вывести из других, а значит, без них можно обойтись[312].

Гильберт не хотел ограничиваться геометрией. Он мечтал создать сугубо формальную математику, в которой заявление, что утверждение истинно, было бы равноценно заявлению, что это утверждение подчиняется изначально установленным правилам – ни больше, ни меньше. Такая математика понравилась бы Антонину Скалиа. Аксиомы, которые Гильберт планировал использовать в арифметике и которые впервые сформулировал итальянский математик Джузеппе Пеано, на первый взгляд не кажутся тем, в отношении чего могут возникать интересные вопросы или разногласия. Эти аксиомы содержат утверждения такого рода: «Ноль – это число», «Если x равно y, а y равно z, тогда х равно z» и «Если число, непосредственно следующее за числом x, тождественно числу, непосредственно следующему за числом y, тогда числа x и y тождественны». Все эти истины мы считаем самоочевидными.