Как не ошибаться. Сила математического мышления - Джордан Элленберг

Но затем Рассел пишет следующее: «У меня возникла трудность только с одним вопросом».

Далее он объясняет в письме, в чем состоит проблема с множеством NO, которая известна теперь как парадокс Рассела[316].

В конце письма Рассел выражает свое сожаление по поводу того, что Фреге еще не опубликовал второй том своего труда «Grundgesetze der Arithmetik» («Основные законы арифметики»). На самом деле эта книга была завершена и уже находилась в печати, когда Фреге получил письмо Рассела. Несмотря на уважительный тон («У меня возникла трудность» вместо «Я только что испортил труд всей вашей жизни»), Фреге сразу же понял, что означает парадокс Рассела для его версии теории множеств. Менять что-то в книге было слишком поздно, но Фреге поспешно добавил эпилог с объяснением губительного озарения Рассела. Пожалуй, это объяснение Фреге можно считать самым грустным предложением о математике из всех, которые когда-либо были написаны: «Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als dass ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird». Что означает: «Вряд ли ученый может столкнуться с чем-либо более нежелательным, чем разрушение самой основы только что законченной работы».

Гильберт и другие формалисты не хотели оставлять открытой возможность противоречия, встроенного в аксиомы подобно часовой бомбе; он стремился разработать математическую систему, в которой непротиворечивость была бы гарантирована. Нельзя сказать, что Гильберт на самом деле считал, будто в арифметике может быть скрыто противоречие. Подобно большинству математиков и даже большинству обычных людей, он был убежден, что стандартные правила арифметики – это истинные утверждения о целых числах, а значит, они не могут противоречить друг другу. Однако этого было недостаточно, поскольку в основе такого подхода лежало предположение о том, что множество целых чисел действительно существует. Для многих это было камнем преткновения. За несколько десятилетий до этого Георг Кантор впервые поставил концепцию бесконечности на твердую математическую основу. Однако его работа не получила широкого принятия и распространения; кроме того, была довольно большая группа математиков, которые считали, что любое доказательство, основанное на существовании бесконечных множеств, должно считаться сомнительным. Все готовы были принять тот факт, что существует число 7. Однако существование множества всех чисел оставалось спорным вопросом. Гильберт прекрасно знал, что сделал Рассел с Фреге, и осознавал, какие опасности таят в себе поверхностные рассуждения о бесконечных множествах. «Внимательный читатель, – писал он в 1926 году, – обнаружит, что в книгах по математике полно глупости и абсурда, источником которых является бесконечность»{280}. (Тон этого высказывания был бы вполне уместным в каком-нибудь из наиболее яростных мнений судьи Антонина Скалиа.) Гильберт искал финитное доказательство непротиворечивости, то есть доказательство, в котором не было бы никаких ссылок на бесконечные множества и в которое рациональный ум не мог бы не поверить.

Однако Гильберта ждало разочарование. В 1931 году Курт Гёдель доказал свою знаменитую вторую теорему о неполноте, которая гласила, что не существует финитного доказательства непротиворечивости арифметики. Он погубил программу Гильберта одним ударом.

Так следует ли вам беспокоиться по поводу того, что завтра после обеда может наступить коллапс всей математики? Как бы там ни было, меня это не беспокоит. Я действительно верю в бесконечные множества и считаю доказательства непротиворечивости, в которых используются бесконечные множества, достаточно убедительными, чтобы спокойно спать по ночам.

Большинство математиков считают так же, как и я, но есть и те, кто придерживается другого мнения. В 2011 году логик из Принстонского университета Эдвард Нельсон представил доказательство непротиворечивости арифметики. (К счастью для нас, через несколько дней Терри Тао обнаружил в этом доказательстве ошибку{281}.) Владимир Воеводский, лауреат Филдсовской премии, который работает сейчас в Институте перспективных исследований в Принстоне, произвел в 2010 году сенсацию, заявив, что не видит никаких оснований для того, чтобы считать арифметику непротиворечивой. Вместе с большой группой коллег со всего мира Воеводский предложил новое обоснование математики. Гильберт начинал с геометрии, но быстро пришел к пониманию того, что непротиворечивость арифметики – это более фундаментальная проблема. Напротив, группа Воеводского утверждает, что по большому счету именно геометрия имеет фундаментальное значение – не такая геометрия, которая была бы привычной для Евклида, а современная геометрия, называемая «теория гомотопий». Смогут ли эти основы устоять перед скептицизмом и противоречиями? Спросите меня об этом через двадцать лет. Такие вещи требуют времени.

Модель математики Гильберта уцелела после кончины его формалистской программы. Еще до публикации работы Гёделя Гильберт ясно дал понять, что в его намерения не входит создание математики сугубо формалистским способом. Это было бы слишком трудно! Даже если геометрию можно представить в виде осуществления манипуляций с бессмысленными последовательностями символов, ни один человек не в состоянии генерировать геометрические идеи, не рисуя при этом картинки, не представляя себе фигуры и не размышляя о геометрических объектах как о реальных вещах. Как правило, мои друзья философы считают эту точку зрения, обычно называемую платонизмом, довольно сомнительной: разве может быть реальным пятнадцатимерный гиперкуб? Я могу сказать только то, что для меня такие вещи так же реальны, как, например, горы. В конце концов, я могу определить пятнадцатимерный гиперкуб. А можете ли вы определить гору?

Однако все мы отпрыски Гильберта; когда по выходным мы пьем пиво вместе с философами и философы начинают атаковать нас вопросами по поводу статуса объектов, которые мы изучаем[317], мы возражаем им, укрываясь в своей формалистской цитадели: безусловно, мы прибегаем к геометрической интуиции, для того чтобы понять, что происходит, однако наш окончательный вывод по поводу истинности того, о чем мы говорим, опирается на формальное доказательство, лежащее в основе происходящего. Согласно известной формулировке Филипа Дэвиса и Рубена Херша, «типичный практикующий математик – платонист по будним дням и формалист по воскресеньям»{282}.