Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - Дэвид Дарлинг

В каком-то смысле интернет с его громадным объемом полезной информации, затерянной в многократно превышающем его объеме сплетен, полуправды и полной галиматьи, становится все более похожим на библиотеку Борхеса – вместилище всего на свете от глубокого научного знания до совершеннейшего бреда. Есть даже сайты, имитирующие Вавилонскую библиотеку: за долю секунды они выдают полотно случайных цепочек из букв, где иногда могут содержаться реально существующие слова или даже осмысленные обрывки информации. Когда у нас под рукой такой объем информации, кому или чему можно доверить роль третейского судьи, объективно оценивающего, что подлинно и достоверно? В конечном итоге, поскольку информация существует в виде наборов цифр, хранящихся в недрах электронных процессоров и носителей данных, ответ должен лежать где-то в области математики.

Что касается ближайшего будущего, математики уже сейчас разрабатывают всеобъемлющую теорию случайности, которая может объединить на первый взгляд очень далекие друг от друга научные феномены и концепции – от броуновского движения до теории струн. Двое исследователей, Скотт Шеффилд из Массачусетского технологического института и Джейсон Миллер из Кембриджского университета, обнаружили, что многие из двумерных фигур и траекторий, генерируемых случайными процессами, разделяются на четко различимые категории, каждая из которых обладает собственным набором характеристик. Их классификация привела к открытию неожиданных связей между разнородными случайными объектами, не имеющими, казалось бы, никакого отношения друг к другу.

Первый изученный математиками тип случайной траектории – так называемое случайное блуждание. Представьте себе пьяного, начинающего свой путь от фонарного столба. Он идет, пошатываясь, от одной точки к следующей, с каждым шагом (предполагается, что все шаги равной длины) случайно выбирая направление. Вопрос: как далеко от столба он окажется через определенное количество шагов? Можно для простоты свести задачу к одномерному виду: пусть человек движется только по прямой в одну или другую сторону, а перед каждым шагом как будто подбрасывает монетку, чтобы решить, куда идти – направо или налево. Впервые задача воплотилась на практике в 1827 году, когда английский ботаник Роберт Броун привлек внимание к явлению, позднее названному броуновским движением, – беспорядочному танцу зерен пыльцы в воде, который он разглядел в микроскоп. Позже этот феномен объяснили тем, что частицы пыльцы хаотично бомбардируются молекулами воды, которые всякий раз толкают крохотные зернышки в случайном направлении (так что каждое ведет себя словно пьяный из нашей задачи). Но только в 1920-х годах американский математик и философ Норберт Винер детально исследовал все математические аспекты броуновского движения. Для этого нужно было понять, что происходит в задаче о случайном блуждании, когда длина шагов и временной интервал между ними постепенно сокращаются. Получившиеся случайные траектории очень напоминают путь, проделываемый частицами при броуновском движении.

Позднее физики заинтересовались случайным движением иного рода. Теперь уже действующими лицами были не частицы, передвигающиеся по искривленным одномерным траекториям, а мельчайшие трепыхающиеся “нити”, колебания которых могут быть представлены как двумерные поверхности. Это те самые струны из теории струн – самой передовой, но пока не доказанной теории элементарных частиц, составляющих всю материю. Скотт Шеффилд сформулировал это таким образом: “Чтобы понять квантовую физику для струн, нужно нечто вроде броуновского движения для поверхностей”. Начало такой теории положил в 1980-х годах физик Александр Поляков, сейчас работающий в Принстонском университете. Он придумал способ описания подобных поверхностей, который сейчас именуется квантовой гравитацией Лиувилля. Параллельно была разработана еще одна модель, названная броуновской, которая также описывала случайные двумерные поверхности, но давала о них иную, дополнительную информацию. Прорыв, совершенный Шеффилдом и Миллером, заключался в том, что им удалось доказать: эти два теоретических подхода, квантовая гравитация Лиувилля и броуновская модель, эквивалентны. И пусть предстоит еще немало работы, прежде чем теорию можно будет применять непосредственно для решения физических задач, но со временем она может стать мощным объединяющим принципом, действующим на самых различных уровнях – от фантастически миниатюрных струн до таких повседневных явлений, как рост снежинок или образование минеральных отложений. Уже сегодня абсолютно ясно: случайность лежит в основе физической вселенной, а в основе случайности лежит математика.

То, что истинно случайно, непредсказуемо. Нельзя заранее знать, каким окажется следующий элемент случайной цепочки. В физике невозможно предугадать, когда наступит случайное событие, такое как распад радиоактивного ядра. Если событие случайно, о нем говорят, что оно недетерминировано, поскольку даже в принципе невозможно, зная то, что уже произошло, спрогнозировать, что будет дальше. В быту мы часто случайное называем хаотичным. “Случайность” и “хаос” в повседневном языке стали практически полными синонимами. Но в математике между этими двумя понятиями есть огромная разница – разница, которую мы сможем лучше почувствовать, окунувшись в странный мир дробных размерностей.

Поищите в словаре синонимы к слову “хаос” – и найдете “неразбериху”, “беззаконие” и “анархию”. Но тот хаос, который изучают математики и другие ученые в рамках относительно нового научного направления, называемого теорией хаоса, – совсем другое дело. В нем нет места бесчинствам и вседозволенности. Напротив, он подчиняется строгим законам, его наступление предсказуемо, а поведение проявляется в виде изысканных геометрических узоров. Цифровая передача данных, моделирование электрохимических процессов в нервных клетках, гидроаэродинамика – это лишь немногие области, в которых находит практическое применение теория хаоса.

Но мы подойдем к теме главы окольным, более живописным путем и для этого зададим обезоруживающе простой вопрос: какова длина побережья Великобритании? Именно его вынес в заголовок своей статьи, опубликованной в 1967 году в журнале Science, французско-американский математик польского происхождения Бенуа Мандельброт, теоретик в исследовательском центре IBM имени Томаса Джона Уотсона. Казалось бы, ничего сложного – нужно просто точно измерить длину береговой линии, вот и все. На деле же результат будет зависеть от масштаба измерения, причем измеренная длина может увеличиваться неограниченно (то есть она не сходится к какому-то постоянному значению) – или, по крайней мере, до тех пор, пока масштаб не достигнет атомного. Впервые странный вывод о том, что береговая линия острова, страны или континента не имеет строго определенной длины, озадачил английского математика и физика Льюиса Фрая Ричардсона за несколько лет до того, как над ним всерьез задумался Мандельброт.

Будучи пацифистом, которого интересовали теоретические корни международных конфликтов, Ричардсон пытался понять, зависит ли вероятность войны между двумя странами от протяженности их общей границы. Изучая эту проблему, он обратил внимание на существенные расхождения в длине пограничной линии, указываемой в разных источниках. Например, по данным испанских властей, длина испанско-португальской границы составляла 987 километров, а португальцы оценивали ее в 1214 километров. Ричардсон понял, что такое расхождение в измерениях – не обязательно ошибка, а может объясняться тем, что в расчетах использовались разные “мерки”, то есть минимальные единицы длины. Попробуйте измерить расстояние между двумя точками на изрезанном бухтами берегу или вдоль извилистой пограничной линии воображаемой гигантской линейкой длиной в 100 километров, и оно получится меньше, чем если бы линейка была половинной длины. Чем короче линейка, тем более мелкие извилины она может учитывать при измерении, включая их длину в конечный ответ. Ричардсон продемонстрировал, что при последовательном укорачивании “линейки” (то есть единицы измерения) длина извилистой береговой или пограничной линии увеличивается неограниченно. Очевидно, измеряя протяженность испанско-португальской границы, португальцы использовали более короткую меру длины.