Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - Дэвид Дарлинг

Наша ошибка при оценке вероятности какого-либо события заключается в том, что мы учитываем не все возможности его наступления. Именно она лежит в основе так называемого “парадокса дней рождения” (который, строго говоря, и парадоксом-то не является): если собрать в одной комнате 23 человека, то вероятность того, что у двух из них совпадут дни рождения, превысит 50 %. Казалось бы, она должна быть гораздо ниже. Кто-то даже поспорит: ведь если для такого совпадения достаточно всего 23 человек, то у каждого из нас должно быть как минимум несколько знакомых, родившихся в тот же день, что и мы, – а на деле такое всегда вызывает удивление. Но ведь в парадоксе речь идет не о вероятности того, что кто-то конкретный из этих людей (например, вы) обнаружит в комнате еще кого-то с тем же днем рождения, а о шансах того, что дни рождения совпадут у любых двоих из группы. Другими словами, нас интересует не вероятность того, что у двух конкретных членов группы один и тот же день рождения, а шансы того, что хотя бы два любых человека из группы родились в один день. Вероятность такого совпадения составляет 1 – (365/365 × 364/365 × 363/365 × … × × 343/365) = 0,507, или 50,7 %. В группе из 60 человек эта вероятность превышает 99 %. А вот чтобы получить 50-процентную вероятность того, что у кого-то в группе день рождения совпадает с вашим, нужно уже 253 человека.

Одна из причин, по которой это кажется парадоксальным, заключается в том, что мы смешиваем два разных вопроса. У большинства из нас просто нет 253 достаточно близких знакомых, у которых мы бы знали день рождения, поэтому нам и кажутся маловероятными подобные случайные совпадения. Но это вовсе не значит, что вероятность совпадения дней рождения у двух других людей так же мала.

Контринтуитивными могут казаться не только положения, относящиеся к вероятности, но и понятие случайности. Какая из двух последовательностей орлов (О) и решек (Р) ниже кажется вам более случайной?

или

Подозреваю, что многие выберут первую, поскольку в ней поровну орлов и решек, расположенных без видимого порядка. Во второй решек явно больше, к тому же бросаются в глаза более длинные серии повторяющихся букв. На самом деле вторую цепочку один из нас (Агниджо) образовал с помощью генератора случайных чисел, а первую специально составил таким образом, чтобы она напоминала результат работы человека, которого попросили написать случайную последовательность букв О и Р. Человек в таком случае обычно избегает длинных серий повторяющихся букв, обе использует примерно поровну и переключается с О на Р и обратно чаще, чем когда это происходит случайно.

А как насчет вот такой последовательности?

Она выглядит вполне случайной, даже статистические методы анализа не заподозрят в ней дело рук человека. В действительности же она построена из десятичных знаков числа пи (без начальной тройки): О обозначает нечетные знаки, а Р – четные. Так являются ли знаки числа пи случайными? Формально нет, так как первый десятичный знак всегда 1, второй – всегда 4 и так далее, сколько бы раз вы ни пытались сгенерировать эту последовательность. Если нечто имеет постоянное место и неизменную величину (когда бы нам ни вздумалось на это нечто посмотреть), какая уж тут случайность? И все же математики задаются вопросом, можно ли считать десятичные знаки числа пи случайными статистически, то есть распределенными равномерно: другими словами, с одинаковой ли вероятностью в его записи встречаются все цифры по отдельности и все сочетания цифр (пары, тройки и так далее). Если да, то про пи можно сказать, что оно “нормально по основанию 10”. Именно так думает подавляющее большинство математиков. Считается также, что число пи “абсолютно нормально”, то есть не только его десятичные знаки статистически случайны, но и двоичные знаки (если его записать в двоичной системе, используя только нули и единицы), и троичные (если оно записано нулями, единицами и двойками) и так далее. Доказано, что почти все иррациональные числа абсолютно нормальны, но вот найти доказательство для конкретных случаев оказывается невероятно трудным делом.

Первый пример известного нормального числа по основанию 10 – постоянная Чемперноуна, названная так в честь английского экономиста и математика Дэвида Чемперноуна, который еще студентом в Кембридже опубликовал работу о ее значении. Чемперноун изобрел эту константу специально для того, чтобы доказать, что нормальные числа существуют, а заодно продемонстрировать, как легко такое число сконструировать. Его постоянная представляет собой просто-напросто цепочку, составленную из следующих друг за другом чисел натурального ряда: 0,1234567891011121314…, а потому содержит все возможные последовательности цифр в равных пропорциях. Десятую часть всех цифр константы составляют единицы, сотую часть всех пар цифр – пара 12 и так далее. Вот только, несмотря на нормальность этого числа по основанию 10, входящие в него цепочки цифр совсем не выглядят случайными (то есть неупорядоченными и непредсказуемыми), особенно в начале. Кроме того, нам неизвестно, является ли это число нормальным по какому-либо иному основанию, кроме 10. Существуют и другие константы, нормальность которых доказана, но все они, как и постоянная Чемперноуна, сконструированы нормальными искусственно. До сих пор не доказано, является ли число пи нормальным хотя бы по какому-то основанию.

Первые двести с небольшим знаков числа пи.

На момент написания этой книги известно 22 459 157 718 361, или чуть больше 22 триллионов, знаков числа пи. В будущем мы, конечно, сможем вычислить и больше знаков[11], но те, что нам известны, уже не изменятся никогда, сколько бы раз мы ни производили вычисление. Известные знаки числа пи – часть застывшей реальности математической вселенной, а потому не могут быть случайными. А что насчет остальных его знаков, тех, которые еще не вычислены? Если исходить из того, что пи нормально по основанию 10, они пока остаются для нас, по сути, статистически случайными. Другими словами, если вас попросят написать случайную цепочку из тысячи цифр, вы можете, предварительно собрав компьютер, способный вычислить на 1000 знаков числа пи больше, чем известно сейчас, использовать полученные новые знаки в качестве случайной цепочки. Еще одну случайную цепочку? Пожалуйста – вычисляем еще тысячу (ранее неизвестных) знаков. В связи с этим возникает любопытный философский вопрос о природе математических явлений: насколько реальны те десятичные знаки числа пи, до которых мы еще не добрались? Трудно ведь утверждать, что, скажем, септиллионный[12] знак числа пи не существует или что у него нет конкретного постоянного значения, даже если мы не знаем, что это за знак. Но в каком смысле и в каком виде он существует до того, как появится в памяти трудяги-компьютера в результате невероятно долгого вычисления – вычисления, которое пока еще не производилось?