Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - Дэвид Дарлинг

Кстати, стоит упомянуть любопытное открытие, сделанное в 1996 году исследователями Дэвидом Бэйли, Питером Боруэйном и Саймоном Плаффом. Им удалось найти довольно простую формулу – сумму бесконечного ряда членов, – с помощью которой можно вычислить любой знак числа пи, не зная ни одного предыдущего знака. (Строго говоря, вычисляемые по формуле Бэйли – Боруэйна – Плаффа знаки не десятичные, а шестнадцатеричные, то есть представлены по основанию 16.) На первый взгляд это кажется невозможным, да и для других математиков стало полным сюрпризом. Но еще больше поражает другое: для того чтобы вычислить с помощью этого метода, к примеру, миллиардный знак числа пи, достаточно обычного ноутбука и совсем немного времени – меньше, чем на обед в ресторане. Разные варианты формулы Бэйли – Боруэйна – Плаффа могут использоваться для поиска других “иррациональных” чисел, подобных пи, с десятичными знаками, что убегают вдаль бесконечной цепочкой, нигде не повторяясь.

Есть ли в чистой математике вообще хоть что-нибудь истинно случайное – вопрос не праздный. Случайность предполагает полное отсутствие упорядоченности и предсказуемости. Непредсказуемым можно назвать только то, что неизвестно, и только при условии, что нет никаких оснований считать один из возможных исходов вероятнее другого. Математика, по сути дела, существует вне времени; другими словами, она не меняется, не эволюционирует от одного момента к другому. Единственное, что меняется, – это наши знания о ней. Физический же мир изменяется непрерывно, причем эти изменения часто кажутся нам непредсказуемыми. Вращение подброшенной монеты мы считаем достаточно непредсказуемым, чтобы использовать этот метод для выбора одного из двух существующих решений. На деле же степень случайности зависит от того, какой информацией мы располагаем. Если бы нам были известны сила и угол броска, скорость вращения монеты, сопротивление воздуха и так далее, мы сумели бы (теоретически) точно предсказать, какой стороной вверх она упадет. То же касается и падения бутерброда с маслом, разве что в этом случае у нас имеются еще и научные данные, подтверждающие точку зрения пессимистов – чаще он падает маслом вниз. Эксперименты показали, что если бутерброд подбросить вверх (такое, конечно, может произойти только в лаборатории или в школьной столовой), то вероятность его приземления маслом вниз составляет 50 %. Но вот если его смахивают со стола или он соскальзывает с тарелки, тогда он действительно чаще падает намазанной стороной вниз. Причина проста: случайное падение обычно происходит с высоты примерно уровня пояса плюс-минус сантиметров тридцать и у бутерброда как раз достаточно времени, чтобы сделать пол-оборота, поэтому если полет начинается из традиционного положения “маслом вверх”, то закончится он, скорее всего, жирным пятном на полу.

Большинство физических систем гораздо сложнее падающего бутерброда. К тому же некоторые еще и хаотичны, а это значит, что даже незначительное вмешательство в начальные условия может привести к последствиям огромного масштаба на более позднем этапе. Одна из таких систем – погода. До появления современных метеопрогнозов оставалось лишь гадать, что день грядущий нам готовит. Метеоспутники, чувствительные наземные приборы и мощные компьютеры совершили настоящую революцию в метеорологии, позволив давать точный прогноз на период до 7–10 дней. Но при попытке заглянуть дальше даже самые передовые методики и высокотехнологичное оборудование наталкиваются на непреодолимый барьер – сложность и хаотичность системы, включая так называемый эффект бабочки: представление о том, что ничтожное колебание воздуха, вызванное взмахом крыльев бабочки, способно, постепенно усиливаясь, превратиться в страшный ураган.

Ураган “Феликс”, сфотографированный с Международной космической станции 3 сентября 2007 года.

Даже при всей сложности системы может показаться, что любым явлением, будь то вращение подброшенной монеты или климат на планете, руководят одни и те же законы природы, и законы эти детерминированы. Когда-то считалось, что вселенная устроена наподобие гигантского часового механизма – фантастически сложного, но совершенно предсказуемого. Такое представление неверно по двум причинам. Первая связана опять-таки со сложностью. Даже внутри детерминированной системы – то есть такой, в которой исход зависит от ряда событий, а каждое из событий можно предсказать, точно зная предыдущее состояние системы, – задача может быть настолько сложной, что узнать заранее, чем все закончится, просто нереально. В таких системах даже самая совершенная и быстродействующая модель (например, компьютерная) не способна “обогнать” само явление. Это касается систем не только физических, но и чисто математических – таких, например, как клеточные автоматы. О самой известной из таких моделей – игре “Жизнь”, придуманной Джоном Конвеем, – мы еще поговорим подробнее в пятой главе.

Эволюция любой фигуры в игре “Жизнь” полностью детерминирована, но непредсказуема: исход игры можно узнать только после того, как был рассчитан последовательно каждый ее этап. (Есть, конечно, фигуры, которые изменяются циклично – например “пульсируют” или после нескольких этапов начинают передвигаться, не меняя формы. Такие можно рассчитать заранее, зная их поведение. Но наблюдая за игрой первый раз, мы еще не знаем, как они себя поведут.) В математике даже неслучайное может быть непредсказуемым. Но до начала XX века большинство физиков считало, что, пусть мы и не можем знать всех деталей происходящего в физической вселенной, мы в принципе способны познать ее настолько, насколько захотим. Имея достаточно информации, верили они, мы можем с помощью уравнений Ньютона и Максвелла рассчитать ход любых событий с необходимым нам уровнем точности. Но появление квантовой механики положило конец этим представлениям.

Неопределенность, как выяснилось, лежит в самой основе квантовой теории: случайность в субатомном мире – неизбежная объективная реальность. И нигде прихоти случайности не проявляются более очевидно, чем в процессе распада радиоактивных ядер. Да, действительно, с помощью наблюдений можно определить период полураспада радиоактивного вещества – то среднее время, за которое распадается половина исходных ядер во взятом образце. Но это лишь статистическая мера. Период полураспада радия-226, например, составляет 1620 лет – именно столько придется ждать, чтобы от кусочка радия массой в один грамм осталось полграмма, а остальное превратилось в газ радон или в свинец и углерод. Но если наблюдать за одним конкретным ядром радия-226 во взятом образце, абсолютно невозможно предсказать, то ли оно вместе с 37 миллиардами других ядер в том же кусочке распадется через секунду, то ли через 5000 лет. Наверняка нам известно только то, что вероятность его распада в ближайшие 1620 лет – S, то есть та же, с какой при подбрасывании монеты выпадает орел или же, наоборот, решка. И эта непредсказуемость никак не связана с точностью наших приборов или быстродействием компьютеров. На таком глубинном уровне структуры вещества случайность заложена в самой ткани реальности, а значит, может влиять и на процессы, происходящие на более высоких уровнях, внося в них элемент случайности. Крайним проявлением эффекта бабочки стало бы, например, влияние распада одного-единственного атома радия на климат нашей планеты.