Апология математика - Годфри Гарольд Харди

class="p1">На более приземленном уровне, зато для более широкой публики, о том же свидетельствует игра в бридж или, на совсем уж обывательском уровне, головоломки в ежедневной газете. Главная причина их невероятной популярности – в притягательной силе элементарной математики, и лучшие создатели головоломок, такие как Дьюдени или Калибан[67], ничего другого и не используют. Они хорошо знают свое дело, ведь публике нужен интеллектуальный «пинок», и ничто так не подстегивает ум, как математика.

Еще я бы добавил, что даже известные личности (включая тех, кто привык с пренебрежением отзываться о математике) ничему так не рады, как открытию – впервые или заново – подлинной математической теоремы. Герберт Спенсер[68] в своей автобиографии переиздал теорему об окружностях, которую доказал в двадцать лет (не ведая, что ее двумя тысячами лет ранее доказал Платон). А более недавний и более поразительный пример – профессор Содди[69] (чья теорема действительно принадлежит ему)[70].

11

Шахматная задача – самая настоящая, но при этом как бы «несущественная» математика. Какими бы гениальными и хитрыми, оригинальными или неожиданными ни были ходы, им не хватает главного. Шахматные задачи не важны. Лучшая математика не просто красива, но и серьезна – «важна», если угодно, хотя это очень неоднозначное слово, а «серьезна» куда точнее выражает мою мысль.

Я не имею в виду «практическую» пользу от математики; к этой теме я еще вернусь. А пока замечу, что если шахматная задача, грубо говоря, «бесполезна», то такова, по большому счету, и математика: лишь малая ее часть находит применение на практике, причем часть относительно неинтересная. «Серьезность» теоремы определяется не ее практическими последствиями, которых ничтожно мало, а значимостью соединенных в ней математических идей. Говоря обобщенно, математическая идея «значима», если она логично и понятно связывает между собой множество других математических идей. Таким образом, серьезная теорема – та, что связывает значимые идеи, – наверняка повлечет за собой прогресс как в самой математике, так и в других науках. Ни одна шахматная задача не повлияла на развитие научной мысли, тогда как Пифагор, Ньютон и Эйнштейн, каждый в свое время, полностью изменили ее ход.

Серьезность теоремы заключается, конечно, не в ее влиянии – последнее лишь подтверждает ее серьезность. Шекспир оказал громадное воздействие на развитие английского языка, Отуэй[71] – практически никакого, и все-таки это не та причина, по которой Шекспир лучше как поэт. Он лучше потому, что писал гораздо лучшие стихи. Более низкое положение шахмат, как и поэзии Отуэя, объясняется не их влиянием, а их содержанием.

Есть еще один аспект, которого я коснусь лишь вскользь – не потому, что он неинтересен, а потому, что сложен. К тому же у меня нет должной квалификации, чтобы всерьез рассуждать об эстетике. Красота математической теоремы во многом зависит от ее серьезности; даже красота стихотворной строки может в какой-то мере зависеть от значимости выраженной в ней идеи. Я уже приводил две строки Шекспира как пример чисто словесной красоты, и все же строка:

Горячка жизни кончилась, он спит[72];

кажется еще прекраснее. Образ такой же совершенный, однако в этом случае сама идея так важна, мысль так сильна, что строка вызывает у нас гораздо более глубокий эмоциональный отклик. Идеи существенны для образа даже в поэзии, а уж тем более в математике; но мне не стоит и пытаться серьезно рассуждать на эту тему.

12

Теперь понятно, что единственный путь двигаться дальше – это привести примеры «настоящих» теорем, то есть тех, которые всеми математиками единодушно признаются первоклассными. Вместе с тем я связан ограничениями, с учетом которых пишу. С одной стороны, мои примеры должны быть достаточно простыми, не требующими предварительных объяснений и понятными читателю без специальной математической подготовки; читатель должен понимать как ход доказательств, так и формулировки. Эти условия исключают, к примеру, множество прекраснейших теорем в теории чисел, таких как теорема Ферма о двух квадратах или закон квадратичной взаимности. С другой стороны, примеры должны быть взяты из «реальной» математики, с которой имеют дело профессионалы. Это условие исключает немалую долю теорем, которые можно было бы вполне доступно объяснить, но которые посягают на логику и философию математики.

Поэтому мне не остается ничего другого, как обратиться к древним грекам. Я сформулирую и докажу две знаменитые теоремы древнегреческой математики. Обе «просты» по форме и по содержанию и при этом не оставляют сомнений в том, что принадлежат к наивысшему классу. Обе так же свежи и значимы, как и в день их открытия, – две тысячи лет не добавили им ни единой морщинки! И наконец, понятливому читателю, независимо от его математического багажа, достаточно часа, чтобы освоить и формулировки, и доказательства обеих теорем.

1. Первый пример – теорема Евклида[73] о бесконечности множества простых чисел.

Простые числа – это множество чисел

(A) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, …,

которые нельзя разложить на меньшие делители[74]. К примеру, 37 и 317 – простые числа. Любое число можно получить путем перемножения простых чисел: то есть 666 = 2 × 3 × 3 × 37. Каждое число, которое не является простым, делится по меньшей мере на одно простое (хотя обычно, разумеется, простых делителей несколько).

Требуется доказать, что простых чисел бесконечно много, другими словами, что список (А) бесконечен.

Предположим, что он конечен и что список

2, 3, 5, …, P

включает все простые числа, из которых P – самое большое. Для проверки этой гипотезы рассмотрим число Q, полученное по формуле:

Q = (2 × 3 × 5 ×  … ×P) + 1.

Ясно, что число Q не делится нацело ни на одно из чисел множества (A), так как при делении на любое из них всегда останется 1. При этом если Q не простое, то должно делиться без остатка на некое простое число. Следовательно, существует простое число (которым может быть и само Q) больше, чем какое-либо число из нашего изначального списка. А это противоречит нашей гипотезе о том, что простых чисел, превосходящих P, не существует. Следовательно, гипотеза неверна.

Метод доказательства reductio ad absurdum[75], столь любимый Евклидом, – один из лучших приемов математика[76]. Это гораздо более изощренная уловка, чем любой шахматный гамбит: шахматист может пожертвовать пешкой или даже фигурой, а математик как бы сразу сдается.

13

2. Второй пример – доказательство Пифагора[77], подтверждающее «иррациональность» квадратного корня из двух.

Число «рационально», если его