Как не ошибаться. Сила математического мышления - Джордан Элленберг

Зачем работать, ставя перед собой противоположные цели? Существует две веские причины. Прежде всего, вы все-таки можете оказаться неправы; если утверждение, которое вы считаете истинным, на самом деле ложное, все ваши усилия доказать его истинность окажутся тщетными. Опровержение по ночам – это своего рода страховка против огромных потерь.

Но существует и более глубокая причина. Если утверждение истинно и вы пытаетесь опровергнуть его, это вам не удастся. Нас приучили считать, будто неудача – это плохо, но на самом деле так бывает не всегда. Вы пытаетесь опровергнуть утверждение одним способом – и упираетесь в стену. Вы пытаетесь сделать это другим способом – и упираетесь еще в одну стену. При каждой попытке опровержения вы упираетесь в очередную стену, и, если вам повезет, эти стены начнут выстраиваться в определенную структуру, которая и предстанет как доказательство теоремы. Ведь если вы действительно поняли, что мешает вам опровергнуть теорему, велика вероятность, что благодаря способу, недоступному для вас прежде, вы поймете, почему теорема истинна. Именно это произошло с Бойяи, который проигнорировал совет отца и попытался, подобно многим математикам до него, доказать, что постулат о параллельности вытекает из других аксиом Евклида. Как и остальные, Бойяи потерпел неудачу. Но в отличие от остальных он смог понять очертания своей неудачи. То, что блокировало все его попытки доказать, будто не существует геометрии без постулата о параллельности, это и было существование той самой геометрии! С каждой очередной неудачной попыткой Бойяи узнавал все больше о свойствах того, что он считал несуществующим, все глубже постигал суть происходящего, пока наконец не понял, что это такое.

Принцип «доказывать днем и опровергать ночью» применим не только к математике. На мой взгляд, держать под напряжением все свои убеждения, социальные, политические, научные и философские, – это хорошая привычка. Верьте в то, во что вы верите, днем, но по ночам ищите доводы против самых ценных для вас предположений. Не обманывайте себя! Насколько это возможно, размышляйте так, будто вы верите в то, во что не верите. А если вам не удастся разубедить себя в существующих убеждениях, вы узнаете намного больше о том, почему вы верите в то, во что верите. Вы немного приблизитесь к доказательству.

Кстати, это полезное ментальное упражнение – совсем не то, о чем писал Фрэнсис Скотт Фицджеральд в эссе 1936 года The Crack-Up («Крушение»), когда вспоминал о собственной надломленности и чувстве безысходности: «Мне приходилось уравновешивать в себе сознание безнадежности моих усилий и необходимости продолжать борьбу»[340]. Более лаконично об этом сказал Сэмюэл Беккет: «Продолжать… не в состоянии. Но должен. Так что буду продолжать»[341]{306}. Данная Фитцджеральдом характеристика «подлинного интеллекта» подразумевает, что у него самого другой интеллект. Как видел это он сам, именно натиск противоречий по сути привел к тому, что его жизнь закончилась, подобно теории множеств Фреге или компьютеру, отключившемуся под воздействием парадоксов Кирка. (Группа «Городские ласточки» в песне «Ни вашим, ни нашим» в какой-то мере подытоживает сказанное в «Крушении»: «Я лгал себе с самого начала и добился только того, что разваливаюсь на части».) Оказавшись в одиночестве и потеряв контроль над собой, с головой погрузившись в книги и самосозерцание, Фицджеральд стал одним из тех печальных молодых писателей, которые вызывали отвращение у Теодора Рузвельта.

Дэвид Фостер Уоллес также интересовался парадоксами. В свойственном ему математическом стиле он сформулировал несколько смягченную версию парадокса Рассела в своем первом романе The Broom of the System («Метла системы»). Не будет преувеличением сказать, что Уоллес писал свои романы под влиянием собственной борьбы с противоречиями. Он любил все техническое и аналитическое, но в то же время понимал, что простые религиозные заповеди и работа над собой – это более эффективное оружие против наркотиков, отчаяния и губительного солипсизма. Уоллес знал, что работа писателя должна состоять в том, чтобы проникать в головы других людей, но его основной темой стали серьезные трудности, связанные с его собственной головой. Твердо решив записать и нейтрализовать влияние собственных предубеждений и предрассудков, он осознавал, что такая решимость сама по себе относится к числу тех же предубеждений и подвержена тем же предрассудкам{307}. Безусловно, это материал курса философии, но, как известно многим студентам, изучающим математику, старые задачи, которые вы учитесь решать на первом курсе, относятся к числу самых глубоких задач, которые вы когда-либо встречали. Уоллес боролся с парадоксами точно так же, как это делают математики. Вы верите в две вещи, которые кажутся противоречащими друг другу. И вы приступаете к работе – шаг за шагом, очищая кисть, отделяя то, что вы знаете, от того, во что верите, удерживая в своем разуме две противоборствующие вещи рядом друг с другом и рассматривая каждую из них в негативном свете другой, – до тех пор пока не станет очевидной истина или то, что к ней ближе всего.

Что касается Беккета, у него было более глубокое и более благожелательное представление о двойственности, которая неизменно присутствует в его работах, принимая всевозможные эмоциональные оттенки в разных произведениях. «Продолжать… не в состоянии. Но должен. Так что буду продолжать» – это безрадостная мысль; однако Беккет обращается также к доказательству иррациональности квадратного корня из 2 Пифагора, превращая его в шутливый диалог между двумя подвыпившими героями{308}: