Как не ошибаться. Сила математического мышления - Джордан Элленберг

Вы можете подумать, что я действительно испытываю пристрастие к десятичным знакам. У стереотипа, будто математики всегда во всем уверены, есть неразрывно связанный с ним брат-близнец – это стереотип, будто мы всегда стремимся к максимальной точности, упорно пытаясь вычислять все до как можно большего количества десятичных знаков. Но это не так. Мы стремимся вычислять все до необходимого количества десятичных знаков. В Китае есть молодой человек по имени Лу Чао, который выучил и воспроизвел 67 890 цифр числа π. Это впечатляющее достижение в области запоминания. Но любопытно ли это? Нет, потому что сами по себе цифры числа π не представляют никакого интереса. Насколько нам известно, они ничем не лучше случайных цифр. А вот само число π, вне всякого сомнения, представляет большой интерес. Однако число π – это не его цифры; оно просто определяется цифрами, точно так же как Эйфелеву башню определяют координаты 48,8586 градуса северной широты и 2,2942 градуса восточной долготы. Можете прибавить сколько угодно десятичных знаков к этим числам – они все равно не скажут вам, что делает Эйфелеву башню Эйфелевой башней.

Проблема избыточной точности касается не только цифр. Бенджамин Франклин весьма язвительно писал о члене своей филадельфийской группы Томасе Годфри:

Это немного задевает за живое, потому что отчасти это несправедливо. Математики могут быть весьма щепетильными в отношении логических деталей. Мы относимся к числу людей, которые считают забавным на вопрос «Что вы хотите, суп или салат?» ответить «Да».

Тем не менее даже математики, за исключением тех случаев, когда они острят, не пытаются быть исключительно логическими существами. Это было бы просто опасно! Рассмотрим пример. Стоит вам начать рассматривать два противоречащих друг другу факта, то с точки зрения логики – если вы мыслите сугубо дедуктивно – вы обязаны считать, что каждое утверждение является ложным. Вот как это выглядит. Допустим, я считаю, что Париж – столица Франции и что Париж – не столица Франции. На первый взгляд это не имеет никакого отношения к тому, что команда «Портленд Трэйл Блэйзерс»[335] была чемпионом НБА в 1982 году. Но теперь посмотрите на такой фокус. Верно ли, что Париж – столица Франции и что «Портленд» выиграла чемпионат НБА? Нет, потому что я знаю, что Париж не является столицей Франции.

Если не соответствует истине то, что Париж – столица Франции и что «Портленд» стала чемпионом, тогда либо Париж не является столицей Франции, либо «Портленд» не стала чемпионом НБА. Однако я знаю, что Париж – столица Франции, что исключает первую возможность. Следовательно, «Портленд» не выиграла чемпионат НБА 1982 года.

Нетрудно убедиться, что аналогичная аргументация, только поставленная с ног на голову, доказывает истинность каждого утверждения.

Может показаться странным, но с точки зрения логической дедукции это неопровержимо; прибавьте крошечное противоречие в любой фрагмент формальной системы – и вся система рухнет. Философы, связанные с математикой, называют такую уязвимость формальной логики ex falso quodlibet[336], или, исключительно в своем кругу, принципом взрыва. (Помните, как я вам рассказывал, что многие математики любят использовать агрессивную терминологию?)

Принцип ex falso quodlibet – это именно то, что использовал капитан Джеймс Т. Кирк[337], чтобы вывести из строя андроидов-диктаторов. «Поставьте их в парадоксальную ситуацию – и их модули построения логического вывода дают сбой и выходят из строя», – говорит Кирк. «Но это нелогично», – печально отвечают андроиды, прежде чем отключаются их сигнальные лампочки{303}.

Однако хитрость Кирка не работает с людьми. Мы рассуждаем иначе, даже те из нас, кто зарабатывает математикой на жизнь. Мы терпимы к противоречиям – до определенной степени. Фрэнсис Скотт Фицджеральд сказал: «…Подлинная культура духа проверяется способностью одновременно удерживать в сознании две прямо противоположные идеи и при этом не терять другой способности – действовать»[338]{304}.

Математики используют эту способность как основной инструмент мышления. Это важно в случае доказательства от противного, когда необходимо удерживать в уме предположение, которое вы считаете ложным, и рассуждать так, будто оно истинное: допустим, квадратный корень из 2 есть рациональное число, хотя я пытаюсь доказать, что это не так… Всего лишь своего рода систематические осознанные сновидения. И мы можем так делать, не устраивая себе короткого замыкания.

На самом деле существует весьма распространенный совет (я знаю, что слышал его от своего руководителя докторской диссертации, а он от своего и так далее): когда вы упорно пытаетесь доказать теорему, вам следует доказывать ее днем и опровергать ночью. (Периодичность такого переключения не играет роли; говорят, что тополог Руперт Генри Бинг делил каждый месяц на две части: две недели он пытался доказать гипотезу Пуанкаре, а следующие две недели пытался найти контрпример[339]{305}.)