Как не ошибаться. Сила математического мышления - Джордан Элленберг

Не совсем ясно, насколько хорошо знал Беккет высшую математику, но в своей поздней повести Worstward Ho («Худшему навстречу») он описывает ценность неудачи в математическом творчестве более сжато и намного точнее, чем любой профессор:

Математики, с которыми мы встретились в этой книге, не просто люди, которые резко отзываются о необоснованной определенности, и не просто критики, заслуживающие уважения. Они что-то открывали и что-то создавали. Гальтон открыл регрессию к среднему значению; Кондорсе построил парадигму принятия решений в социальной сфере; Бойяи создал совершенно новую геометрию, «странный новый мир»; Шеннон и Хэмминг создали свою геометрию – пространство, в котором обитают цифровые сигналы вместо окружностей и треугольников; Вальд установил броню на самолетах в правильных местах.

Каждый математик создает что-то новое, порой большое, порой малое. Все математические труды – это продукты творчества. И сущности, которые мы можем сотворить с помощью математики, не подвержены никаким физическим ограничениям: они могут быть конечными и бесконечными; они могут быть воплощены в наблюдаемой Вселенной или нет. Сторонние зрители порой считают, что математики – это путешественники в психоделическом мире опасного умственного огня, взирающие на картины, которые свели бы обычного человека с ума. Говорят, и сами математики порой теряют разум.

Но, как мы с вами видели, все не так. Мы не безумцы; мы не пришельцы, мы не шаманы и не мистики.

Что действительно правда – это чувство математического осмысления (когда вдруг с абсолютной уверенностью, докопавшись до самой сути, понимаешь, что происходит). Особое ощущение, которое трудно обрести в других областях науки и жизни. У вас появляется осознание, что вы добрались до самого сердца Вселенной и держите руку на ее пульсе. Подобное состояние трудно описать людям, которые его никогда не испытывали.

Мы не можем сказать, что нам нравится в тех необузданных сущностях, которые мы создаем. Эти сущности требуют определения, а получив его, они не более психоделичны, чем деревья и рыбы, – они есть то, что они есть. Заниматься математикой – значит одновременно ощущать в себе этот огонь и быть ограниченным здравым смыслом. Здесь нет никакого противоречия. Логика формирует узкий канал, по которому протекает многократно усиленная интуиция.

Уроки математики просты, и в них нет чисел – в мире есть структура. Мы можем надеяться на то, что поймем хотя бы что-то в этом мире, а не будем просто смотреть в изумлении на ту картину, которую рисуют наши органы чувств; наша интуиция сильнее, когда она опирается на прочную формальную основу. И еще один урок: математическая определенность – это одно, а более гибкие убеждения, которыми мы руководствуемся в повседневной жизни, – это другое, и мы должны по возможности регулировать разницу между тем и другим.

Каждый раз, когда вы видите, что больше хорошего – это не всегда лучше; когда вспоминаете, что невероятное часто случается при наличии достаточного количества шансов, и сопротивляетесь соблазнам, которые сулит вам балтиморский брокер; когда принимаете решение не просто на основании самого вероятного будущего, а целой совокупности возможных вариантов будущего; когда вы отбрасываете мысль о том, что убеждения группы должны подчиняться тем же правилам, что и убеждения отдельных людей; или когда вы просто находите комфортную когнитивную зону, в которой можете позволить своей интуиции бурно развиваться, опираясь на сеть путей, проложенных для нее формальной логикой, – во всех этих случаях без всяких формул, уравнений и графиков вы занимаетесь математикой, которая есть продолжение здравого смысла, но только другими средствами. Когда вам это пригодится? Вы уже используете математику с самого момента рождения и, по всей вероятности, никогда не прекратите этого делать. Используйте ее во благо.

Прошло около восьми лет с тех пор, как у меня возникла идея написать эту книгу. Теперь вы держите ее в руках, и она уже не просто идея, а свидетельство мудрости моего агента Джея Мэндела, который каждый год терпеливо спрашивал меня, готов ли я попробовать написать что-то, а когда я наконец сказал «да», помог мне улучшить ее концепцию, превратив ее из «Я хочу во всех деталях рассказать людям, насколько замечательна математика» в нечто более похожее на настоящую книгу.

Мне повезло, что я отдал книгу в издательство Penguin Press, в котором существует давняя традиция – помогать ученым общаться с широкой аудиторией и в то же время давать им возможность оставаться самими собой. Огромную пользу принесли мне интереснейшие идеи Колина Дикермана, который приобрел книгу и помог довести ее до почти завершенного состояния, а также Скотта Мойерса, который подхватил эстафету на последнем этапе. Они оба с большим пониманием отнеслись к начинающему писателю, когда этот проект превратился в нечто совсем иное, чем то, что я предлагал в самом начале. Мне очень помогли также советы и поддержка Мэлли Андерсон, Акифа Саифи, Сары Хатсон и Лиз Каламари из Penguin Press, а также Лауры Стикни из Penguin UK.

Кроме того, я очень признателен редакторам журнала Slate, особенно Джошу Левину, Джеку Шейферу и Дэвиду Плоцу, которые решили в 2001 году, что журналу необходима математическая колонка. С тех пор они печатали мои материалы, помогая мне понять, как рассказывать о математике таким образом, чтобы это было понятно даже людям, не имеющим к ней отношения. Некоторые фрагменты этой книги основаны на моих статьях в Slate, которые были улучшены в результате редактирования. Я благодарен также редакторам таких печатных изданий, как New York Times, Washington Post, Boston Globe и Wall Street Journal. (В книге есть также видоизмененные фрагменты из моих статей в Washington Post и Boston Globe.) Я выражаю особую признательность Хайди Джулавиц из журнала Believer и Николасу Томпсону их Wired, которые впервые поручили мне написать довольно длинные тексты и дали мне ряд важных уроков, как написать математическую историю объемом в тысячи слов на одном дыхании.

Элиз Крейг превосходно справилась с работой по проверке фактов в некоторых главах; поэтому, если вы найдете ошибку, то только в других главах. Грег Вилленпике отредактировал книгу перед сдачей в набор, устранив много синтаксических и фактических ошибок. Он неутомимый борец с ненужными дефисами и тире.

Барри Мазур, мой руководитель докторской диссертации, научил меня многому из того, что я знаю о теории чисел; более того, он навсегда останется для меня примером глубокой связи между математическим и другими способами мышления.