Вселенная. Курс выживания среди черных дыр, временных парадоксов, квантовой неопределенности - Джефф Бломквист

Через некоторое время мы воспользуемся собственными квантовыми правилами для серьезных вычислений, но сначала вынуждены признаться, что забыли упомянуть важное дополнение к правилу поворота стрелок. Мы не хотели вводить его раньше, потому что это чисто техническая деталь, но, если игнорировать ее при вычислении реальных вероятностей, правильных ответов не получим. Относится эта деталь к тому, что написано в конце предыдущего абзаца.

Если начать с одиночного циферблата, стрелка должна иметь длину 1, потому что частица должна находиться в месте расположения циферблата со 100 %-ной вероятностью. Наше квантовое правило гласит: чтобы описать положение частицы в какой-то момент будущего, мы должны переместить циферблат во все точки Вселенной, соответственно тому, как частица может прыгнуть из своего текущего местоположения. Естественно, мы не в силах сделать так, чтобы все стрелки циферблатов имели длину 1, потому что тогда вся интерпретация вероятности рушится. Представьте, например, что частица описывается четырьмя циферблатами, так как находится в четырех разных местах. Если стрелка каждого циферблата имеет длину 1, то вероятность того, что частица находится в любой из четырех позиций, будет равняться 400 % – очевидно, что это нонсенс. Чтобы решить эту проблему, мы должны уменьшать циферблаты, а не только двигать их против часовой стрелки. Это «правило уменьшения» гласит, что после того, как все новые циферблаты будут порождены, каждый из них должен быть разделен на квадратный корень из общего количества часов[11]. Для четырех часов это значит, что каждую стрелку нужно разделить на √4, то есть стрелка каждого циферблата будет иметь длину ½. Отсюда следует: вероятность того, что частица будет найдена на месте любого из четырех циферблатов, равна (½)2 = 25 %. Таким простым способом мы можем убедиться, что вероятность нахождения частицы где-либо всегда будет 100 %-ной.

Конечно, количество возможных положений может быть бесконечным, так что циферблаты могут оказаться и нулевого размера. Это вызывает тревогу, но математика справится. Для наших целей мы всегда будем считать, что число циферблатов конечно и нам никогда не будет нужно знать, насколько уменьшается каждый циферблат.

Вернемся к предположению, что Вселенная содержит единственную частицу, положение которой точно не известно. Следующий раздел можете воспринимать как небольшую математическую задачу – следить за ходом мысли сначала окажется сложно (тогда попробуйте перечитать), но если вы сможете понять, что происходит, то поймете и то, как возникает принцип неопределенности. Для простоты допустим, что частица движется в одномерном пространстве, то есть находится где-то на прямой линии. Более реалистичный пример для трех измерений не отличается фундаментально, зато его сложнее изобразить. На рис. 4.3 мы сделали зарисовку ситуации одномерного движения, изобразив частицу линией из трех циферблатов. Однако нужно представить, что их намного больше – по одному в каждой точке, где может находиться частица. Просто нарисовать такое количество было бы очень трудно. В этой группе циферблатов, соответствующей исходному положению частицы, циферблат 3 находится слева, а циферблат 1 – справа. Итак, в этой ситуации мы знаем, что частица в начальный момент находится где-то между циферблатами 1 и 3. Ньютон сказал бы, что она останется между циферблатами 1 и 3, если с ней ничего не делать, но как насчет квантового правила? Здесь-то и начинается самое интересное: мы поиграем с правилами циферблатов, чтобы ответить на этот вопрос.

Рис. 4.3. Три циферблата, показывающие одинаковое время и расположенные на одной линии, описывают частицу, в начальный момент находящуюся где-то в области этих циферблатов. Нас интересует, каковы шансы на то, чтобы найти частицу в точке X в некоторый последующий момент времени

Позволим времени идти вперед и выясним, что произойдет с этим рядом циферблатов. Представим себе сначала одну конкретную точку на большом расстоянии от исходной группы циферблатов. На рисунке она отмечена буквой X. О точных параметрах «большого расстояния» поговорим чуть позже, а сейчас это просто значит, что стрелки должны существенно изменить свое положение.

Применив правила игры, мы должны перенести каждый циферблат из исходной группы в точку Х, передвигая стрелки и уменьшая их соответствующим образом. Физически это соответствует тому, что частица прыгает из точки поля в точку Х. В точку Х прибудет несколько циферблатов – по одному из каждой исходной точки, и следует сложить их все. В итоге квадрат длины результирующей стрелки циферблата в точке Х даст нам вероятность нахождения частицы в Х.

Теперь понаблюдаем за процессом в развитии и добавим ряд цифр. Допустим, что точка Х находится на расстоянии 10 единиц от циферблата 1, а ширина области, занимаемой исходной группой циферблатов, – 0,2 единицы. При ответе на очевидный вопрос «Что это за расстояние – 10 единиц?» в наше повествование входит постоянная Планка, но сейчас мы ловко отпихиваем ее в сторону и просто отмечаем, что 1 единица расстояния соответствует 1 полному (12-часовому) обороту стрелки на циферблате. Это значит, что точка Х примерно в 10² = 100 полных оборотах от изначального поля (помните о правиле хода часов). Положим также, что циферблаты в исходной группе были одного размера и все указывали на 12 часов. Предположение об их одинаковом размере – это предположение о том, что частицу можно с одинаковыми шансами найти в точках, соответствующих циферблатам 1, 2 и 3 на нашем рисунке, а значение того, что все циферблаты показывают одинаковое время, выявится позднее.

Чтобы переместить циферблат из точки 1 в точку Х, нужно в соответствии с правилом сделать полный оборот стрелки против хода часов 100 раз. Сейчас перенесемся в точку 3, которая находится в 0,2 единицы от точки 1, и переместим в Х и этот циферблат. Так как этот циферблат должен пройти 10,2 единицы, открутить его стрелку назад нужно чуть дальше – 10,2² раза, что очень близко к 104.

Теперь у нас два циферблата в точке Х, соответствующие частице, прибывшей туда из точки 1, и частице, прибывшей из точки 3. Их нужно сложить, чтобы начать вычислять итоговый циферблат. Поскольку обе стрелки были откручены назад примерно одинаковое количество раз, то они оба показывают приблизительно 12 часов. При сложении они дают часы с более длинной стрелкой, тоже указывающей на 12. Заметьте, роль играет только конечное положение часовой стрелки. Нет смысла фиксировать число ее оборотов. Пока все хорошо, но мы еще не закончили, потому что между правым и левым краями исходной группы еще есть множество маленьких циферблатов.