Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей - Алексей Михайлович Семихатов

похожее на исходное: да, каждое слагаемое в сумме всего лишь умножается на некоторое число, но каждое – на свое число! Если вы укоротили все ножки табуретки на трех ногах в одно и то же количество раз, то на ней по-прежнему можно сидеть, она просто станет более низкой, но если одну ножку вы укоротили в полтора раза, другую в два, а третью вообще удлинили на 10 % от ее первоначальной длины, то табуретку не так легко будет использовать по назначению. В «длинных суммах» число слагаемых существенно больше трех, и различные изменения в каждом из них изменяют всю сумму неузнаваемо.

Та же идея работает не только для x, но и для других координат, а равным образом и для количества движения вдоль любого из направлений: каждая из этих величин порождает предписание, по-своему изменяющее волновые функции. Как относиться к этой новой жизни привычных понятий? Координаты и компоненты количества движения на наших глазах сделали впечатляющую карьеру от скромных величин, которые в доквантовом мире всегда имели определенные численные значения, до «абстракций над абстракциями»: они стали правилами, предписывающими, во что превратить любую волновую функцию. В этом качестве они больше не выражаются числами, но в некотором роде они «представительствуют» от имени всех значений «своей» величины: наше , например, несет в себе знание о всех возможных значениях координаты. В разнообразных ситуациях может так оказаться, что и само задано некоторым сложным образом (скажем, «собрано» из других предписаний), да и состояния построены таким способом, что их свойства сразу не видны; и тем не менее если известно, что предписание отвечает координате x, то из него можно извлечь знание обо всех состояниях |x1⟩, |x2⟩, |x3⟩, …, применяя это к произвольно выбранным состояниям. Почти всегда в результате будет получаться какое-то «совсем» другое состояние, но в редких случаях применение предписания приводит к самому безобидному из возможных изменению состояния: всего лишь к умножению его на число. А произойти это может только с теми самыми |x1⟩, |x2⟩, |x3⟩, … – состояниями, отвечающими определенным значениям координаты, насколько бы замысловатая конструкция ни маскировала их природу. Про них говорят (пример удачной терминологии), что это собственные состояния нашего предписания . При этом у нас достаточно информации, чтобы выяснить, какое именно состояние из |x1⟩, |x2⟩, |x3⟩, … нам встретилось: об этом сообщает то число, на которое состояние умножилось! Оно непременно равно одному из x1, x2, x3, … – с каким из них совпадет, такое, значит, и состояние. Продолжая мой пример чуть выше: если, например, число равно 0,031 нм, то, значит, мы наткнулись на собственное состояние |x222⟩.

Если вы сейчас спросите меня, а не таким же ли образом мы находим стационарные состояния и уровни энергии в атоме, то я вынужден буду разрушить всю оставшуюся интригу: да, применяя на этот раз гамильтониан (тоже предписание по изменению волновых функций, только отвечающее не координате и не компоненте количества движения, а энергии) ко всем волновым функциям, мы ищем среди них те, которые изменяются самым безобидным образом, т. е. всего лишь умножаются на число. Этим среди прочего и занимался Шрёдингер на вилле «Д-р Хервиг», попутно сетуя на свое недостаточное знание математики. Числа, которые возникают при этом в качестве множителей, и составляют список дискретных значений энергии. Эти собственные числа гамильтониана определяют те самые исключительные случаи, в которых электрон все-таки может стационарно существовать в атоме, – знание, которым мы пользовались в долг на прогулке 10.

Энергия превращается в гамильтониан

Но мы слегка забежали вперед. Все-таки мы еще не полностью построили гамильтониан. Сейчас исправим это упущение. Во-первых, с координатами y и z мы поступаем точно так же, как с координатой x, и превращаем их в предписания Во-вторых, надо еще надеть шляпу на количество движения – точнее, на каждую его компоненту[254]. А затем, задавшись какой-нибудь системой (например, десять электронов и ядро в атоме неона), мы выражаем энергию через координаты и количества движения, а потом в этом безобидном выражении заменяем все упоминания координаты x на предписания и аналогично поступаем с двумя другими координатами y и z. И сделать это надо для каждого участника событий, поэтому появятся свои предписания для каждого электрона. То же самое делается с количеством движения: для каждого электрона три компоненты количества движения превращаются в три предписания. После того как все обычные величины в выражении для энергии заменены на свои «продвинутые» версии со шляпками, перед нами оказывается предписание для изменения состояний/волновых функций. Оно чаще всего обозначается (по первой букве фамилии Hamilton), и это и есть гамильтониан – «новая жизнь» энергии в виде предписания по изменению волновых функций.

Никто, правда, не говорит «предписание по изменению волновой функции». Говорят «оператор» или (что правильнее, но длиннее) «линейный оператор». Слово «оператор» указывает на того, кто действует, управляет: в квантовой механике операторы действуют на волновые функции, изменяя их; вполне подходящее название. Технический термин «линейный» связан с линией довольно опосредованным образом и означает не «выстроенный в линию», а «всегда действующий по правилу раскрытия скобок и проходящий сквозь умножение на числа» (см. примечание 18 выше).

Пожалуй, стоит задуматься и признать, что перед нами – новый взгляд на природу вообще и движение в частности. Вместо привычных нам величин и их значений на первый план выходят отвечающие им операторы, предназначение которых – действовать на волновые функции (превращать одни в другие). Сами по себе операторы ни в какой мере не выражаются числовыми значениями. Но каждый оператор способен задавать волновой функции (состоянию) вопрос: не случилось ли так, что в данном состоянии определенная величина все-таки выражается числом? Состояний, для которых это случается, в определенном смысле «мало»; это собственные состояния данного оператора – те, которые под его воздействием претерпевают всего лишь умножение на число. У каждого предписания свой набор собственных состояний, которые так себя ведут, и набор собственных чисел, которые при этом появляются в качестве множителей. Эти числа (круг замкнулся!) и представляют собой все возможные значения данной величины – той, на которую мы и надели шляпу, чтобы получить данное предписание. Для гамильтониана это значения энергии, для оператора отвечающего количеству движения вдоль x, это возможные значения количества движения вдоль этого направления. То, что здесь происходит,