Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей - Алексей Михайлович Семихатов

называется квантованием: привычные величины превращаются в операторы и приобретают в этом качестве самостоятельное существование, а возможные численные значения каждой величины в конкретной системе возникают как продукт взаимоотношений этих операторов с некоторыми специально устроенными (собственными) волновыми функциями, уж какие найдутся. Это вершина нашего восхождения к абстракциям. Осталось только собрать их в уравнение Шрёдингера.

Кульминация! Вот как работает квантование

*****

Уравнение Шрёдингера. Самый главный среди операторов – гамильтониан («переделанная энергия»), потому что, согласно уравнению Шрёдингера, он определяет, как волновая функция изменяется с течением времени. Применение гамильтониана к (любой) волновой функции Ψ производит из нее какую-то «совсем другую» волновую функцию (какая она получится, зависит и от того, каков гамильтониан, и, конечно, от того, на какую волновую функцию он набросился). Уравнение Шрёдингера требует, чтобы волновая функция изменялась во времени так, чтобы темп ее изменения всегда был равен той волновой функции, которая получается после применения гамильтониана. Неформально говоря, скорость изменения волновой функции определяется тем, как гамильтониан «толкает» эту волновую функцию – именно в этом качестве он и управляет эволюцией. В действительности равенство должно иметь место с точностью до умножения на постоянную величину, одну всегда и для всех:

Этим регулируется изменение во времени любой и каждой волновой функции. С 1926 г. и поныне это уравнение применялось неисчислимое количество раз и продолжает с успехом применяться[255].

В качестве промежуточного итога наших странствий по миру труднопредставимого мы сейчас «получим атом» из уравнения Шрёдингера. Среди возможных зависимостей волновой функции от времени имеется класс простейших и в некотором роде «несущественных», когда темп изменения волновой функции максимально просто выражается через саму волновую функцию: вся левая часть уравнения Шрёдингера, (постоянная) · (темп изменения Ψ), просто равна той же волновой функции, умноженной на число: E · Ψ. Такие волновые функции/состояния называются стационарными состояниями; они встречались нам на предыдущей прогулке, это «постоянные-насколько-возможно» состояния[256]. Левую часть уравнения Шрёдингера, равную для них E · Ψ, в записи традиционно переставляют местами с правой частью, в результате чего получается уравнение для стационарных состояний

Дискретное из непрерывного: все дело в собственных состояниях

Поскольку гамильтониан получен из выражения для энергии, числа E здесь – это значения энергии. Какие? Те самые!! Те, которые может (которые только и может) иметь система с данным гамильтонианом в стационарных состояниях («несущественно» зависящих от времени). Из этого уравнения требуется определить как собственные значения гамильтониана – те значения энергии E, при которых найдутся (не равные нулю) решения Ψ, так и сами эти решения, по одному или по нескольку для каждого из найденных значений E. Именно так вычисляются дискретные значения энергии, при которых электрон может существовать в атоме. Последнее приведенное уравнение тоже называется уравнением Шрёдингера, но, в отличие от выписанного ранее, – стационарным уравнением Шрёдингера. В нем нет зависимости от времени; оно говорит, каким образом атом (молекула, …) может существовать «на постоянной основе», и к нему-то и надо обращаться по всем вопросам о «пойманном» движении (когда части системы не разлетаются прочь)[257].

Окинем еще раз взглядом стратегию квантования: каким же это магическим образом появляются дискретные значения энергии, которыми мы без особых объяснений, взаймы, пользовались на предыдущей прогулке – скажем, для электрона в атоме или для колебательных систем. Стартовые данные – это выражение для энергии: для энергии движения и для формы энергетической ямы (и для энергии взаимодействия между электронами, если их несколько). Пока все непрерывно, нет ни намека на дискретность. Ключевой шаг, и даже не шаг, а скачок, – изобрести волновые функции, а энергию превратить в предписание по изменению волновых функций – гамильтониан. Следующий шаг – найти те волновые функции, которые «максимально устойчивы» под действием гамильтониана, т. е. претерпевают всего лишь умножение на число. Это собственные состояния гамильтониана. Вместе с каждым собственным состоянием мы находим и то число, на которое собственное состояние умножается в результате применения гамильтониана, – это значения энергии E, при которых уравнение только и имеет ненулевые решения для волновой функции. Математика, через которую пробивался Шрёдингер в самом конце 1925 г., показывает, что для электрона в яме, для колебательной системы и вообще во всех случаях «пойманного» движения таких значений энергии «мало» – они дискретны. Этим задача про дискретные значения энергии и решена: не предполагая никакой дискретности заранее, мы ее получили! Но можно сделать большее: увидеть, как возникает матричная механика Гайзенберга. Вообще любую волновую функцию можно записать в виде «длинной суммы с умножениями», выразив ее через собственные состояния гамильтониана. Но тогда всякое другое предписание по изменению волновых функций, например отвечающее количеству движения, полностью определяется тем, что оно делает с этими собственными состояниями, – а это в точности описывается гайзенберговской таблицей. Таким образом через область абстрактного и пролегла дорога от непрерывного к дискретному[258].

Что делает электрон в атоме? Реализует собственные состояния гамильтониана. А энергия – повышенная, правда, в ранг гамильтониана – и в самом деле правит миром.

*****

Волновая функция в поисках реальности. От движения в том виде, как мы его хорошо знаем, среди окруживших нас абстракций осталось не так много. Координата и количество движения перестали быть просто числами и превратились в содержимое гайзенберговских таблиц или, что эквивалентно, в операторы, воздействующие на волновые функции, – какие уж тут траектории! Волновые функции – абстрактные сущности, из которых операторы производят другие сущности того же сорта. Комбинация нескольких операторов, называемая гамильтонианом, становится двигателем эволюции – с помощью уравнения Шрёдингера предписывает, как волновым функциям меняться во времени. В такой эволюции волновых функций теперь и предлагается искать ответы на вопросы, которые в наивной форме звучали как «что, куда и как движется?». При этом, без сомнения, воодушевляет тот факт, что из уравнения Шрёдингера можно получать дискретные значения энергии стационарных состояний, которые и наблюдаются в жизни. Но что все-таки происходит в реальности? И как установить с ней контакт, если рассуждаем мы в терминах абстрактных волновых функций? От высоких абстракций пора каким-то образом спуститься