Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания - Марио Ливио

Тем не менее, Платон и сам очень интересовался свойствами чисел и геометрических фигур. В частности, в «Законах» он предполагает, что оптимальное число граждан в государстве – 5040, поскольку это число (а) делится на 12, 20 и 21, (б) его двенадцатая часть тоже делится на 12, (в) у него 59 делителей, в том числе все целые числа от 1 до 12, кроме 11, зато на 11 делится практически соседнее число 5038. Выбор этого числа с его свойствами позволил Платону разработать свою социально-экономическую утопию. Скажем, земля в государстве делится на 5040 наделов, а 420 из них составляют территорию каждой из двенадцати «фил». Сами жители государства делятся на четыре общественные категории – класса: свободные граждане с женами и детьми, их рабы, поселенцы-иностранцы и разнообразные заезжие гости. При выборах совета члены каждого из четырех классов избирают из своей среды по девяносто человек.

С Платоном связано и еще одно число – 216. Его он упоминает в «Государстве» в довольно-таки темном отрывке, где речь идет о том, что 216 – это шесть в кубе, а 6 – это одно из чисел, символизирующих брак (поскольку это произведение женского числа 2 и мужского числа 3). Платон и сам был учеником пифагорейцев и прекрасно знал, что сумма кубов сторон знаменитого пифагорейского треугольника – 3–4–5 – тоже равна 216.

Золотое сечение интересовало Платона, поскольку его очень занимали две темы: несоизмеримость и платоновы тела. В «Законах» Платон признается, что ему неловко, что с идеей несоизмеримости длин и с иррациональными числами он познакомился сравнительно поздно, и сокрушается, что многие греки его поколения до сих пор о них не знают.

В диалоге «Гиппий Больший» Платон признает, что подобно тому, как любое четное число может быть суммой либо двух четных, либо двух нечетных чисел, так и сумма двух иррациональных чисел может быть и иррациональной, и рациональной. Поскольку мы уже знаем, что φ – число иррациональное, рациональный отрезок прямой (то есть отрезок единичной длины), разделенный в соответствии с золотым сечением, служит примером последнего случая, хотя Платон этого, возможно, и не знал. Некоторые ученые придерживаются той точки зрения, что Платон интересовался золотым сечением как таковым. В доказательство они приводят слова Прокла Диадоха (ок. 411–485), который в «Комментарии к I книге «Начал» Евклида» пишет: «Евдокс… взяв у Платона начала сечений, разработал множество их видов» (здесь и далее пер. А. Щетникова), и полагают, что здесь говорится о том, что Платон (и Евдокс) занимались золотым сечением. Однако такое толкование вызывает серьезные сомнения со второй половины XIX века, когда многие исследователи сделали вывод, что слово «сечение», вероятно, не имеет здесь никакого отношения к золотому сечению – Прокл говорит о сечениях геометрических тел или вообще о разделении отрезков. Так или иначе, не приходится сомневаться, что основы для того, чтобы сформировать понятие о золотом сечении и вывести его определение, были заложены в годы, предшествующие открытию Платоновской Академии в 386 г. до н. э., и за время ее существования. Вероятно, ключевой фигурой и движущей силой при выведении теорем, относящихся к золотому сечению, был Теэтет (ок. 417 г. – ок. 369 г. до н. э.), который, согласно византийской энциклопедии «Суды», «первым построил пять так называемых правильных геометрических тел». Математик Папп, живший в IV веке, пишет, что Теэтет к тому же «отличал соизмеримые длины от несоизмеримых». Теэтет не принадлежал к Академии непосредственно, однако наверняка поддерживал с ней неофициальные связи.

В диалоге «Тимей» Платон берет на себя сложнейшую задачу – рассказывает о происхождении и устройстве космоса. В частности, он пытается объяснить структуру материи на примере пяти правильных многогранников, которые уже были в некоторой степени изучены пифагорейцами и подробно – Теэтетом. Пять платоновых тел (рис. 20) отличаются следующими свойствами: это единственные геометрические тела, у каждого из которых все грани – равные и равносторонние и которые можно вписать в сферу (то есть поместить все их вершины на поверхность сферы). Платоновы тела – это тетраэдр (рис. 20, а, с четырьмя гранями в виде равносторонних треугольников), куб (рис. 20, b, шесть квадратных граней), октаэдр (рис. 20, с, восемь треугольных граней), додекаэдр (рис. 20, d, двенадцать граней в виде правильных пятиугольников) и икосаэдр (рис. 20, е, двадцать треугольных граней).

Рис. 20

Платон свел воедино идеи Эмпедокла (ок. 490–430 гг. до н. э.), согласно которому материя состоит из четырех стихий – земли, воды, огня и воздуха, – и «атомарную» теорию материи (существование невидимых частиц), которую выдвинул Демокрит из Абдеры (ок. 460 г. – ок. 370 г. до н. э.). «Единая» теория Платона предполагала, что каждой из четырех стихий соответствует своя фундаментальная частица и одно из платоновых тел. Надо понимать, что за исключением некоторых подробностей, пусть и заметных, основная идея, на которой основана теория Платона, не слишком отличается от того, как формулировал суть современной химии в XIX веке Джон Дальтон. Согласно Платону, стихия земли связана с устойчивым кубом, «всепроникающее» свойство огня – с относительно простым заостренным тетраэдром, воздух с его «подвижностью» – с октаэдром, а многоликая вода – с многогранным икосаэдром. А пятый правильный многогранник – додекаэдр – символизирует по Платону (или Тимею) Вселенную в целом или, по его словам, «его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца» (пер. С. Аверинцева). Вот почему художник Сальвадор Дали решил включить в композицию своей «Тайной Вечери» парящий над столом огромный додекаэдр (см. рис. 5).

Некоторые последователи Платона никак не могли примириться с отсутствием фундаментальной стихии, которая была бы связана с додекаэдром, и кое-кто постулировал существование пятой стихии. Например, Аристотель считал, что пятая вселенская стихия (квинтэссенция) – это эфир, материал, из которого созданы небесные тела и который, по мнению Аристотеля, пронизывал всю Вселенную. Аристотель утверждал, что пятая стихия, пронизывающая всю материю, обеспечивает движение и изменение в соответствии с законами природы. Идея субстанции, пропитывающей пространство и служащей средой для распространения света, доминировала в науке вплоть до 1887 года, когда американский физик Альберт Абрахам Майкельсон и химик Эдвард Уильямс Морли провели свой знаменитый опыт и доказали, что такой среды не существует (согласно современной теории света, она и не нужна). В сущности, в ходе опыта ученые измерили скорость двух лучей света, направленных в разные стороны. Ожидалось, что поскольку Земля движется сквозь эфир, скорости двух лучей окажутся разными, однако опыт однозначно показал, что это не так. Результат опыта Майкельсона-Морли натолкнул Эйнштейна на поиски теории относительности.

Затем события приняли неожиданный поворот: в 1998 году две группы астрономов обнаружили, что наша Вселенная не просто расширяется (что уже доказал астроном Эдвин Хаббл в двадцатые годы), но расширяется с ускорением. Это открытие вызвало настоящее потрясение, поскольку астрономы, естественно, полагали, что расширение должно замедляться из-за силы тяготения. Ведь если бросить мяч вверх, стоя на поверхности Земли, его движение будет замедляться, поскольку на него действует сила тяготения, которая в конце концов и заставит его изменить направление движения на противоположное, – так и сила тяготения всей материи во Вселенной, казалось бы, должна замедлить скорость космического расширения. Открытие, что расширение не замедляется, а ускоряется, наводит на мысль о существовании какой-то «темной энергии», которая проявляется как отталкивающая сила, которая в нашей нынешней Вселенной пересиливает силу тяготения. Физики еще спорят о том, каков источник и природа этой «темной энергии». Согласно одной гипотезе эта энергия связана с квантовым полем, пронизывающим весь космос наподобие знакомого нам электромагнитного поля. Это поле очень похоже на невидимую среду Аристотеля и даже иногда называется «квинтэссенция». Кстати, в научно-фантастическом фильме Люка Бессона «Пятый элемент» «пятой стихией» – «квинтэссенцией» – была названа сила самой жизни, то, что оживляет неживое.