Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность - Бен Орлин

В наши дни лишь горстка ярых консерваторов играет в «Монополию», бросая бобровые зубы. Цивилизация продвинулась от найденных где попало игральных костей к спроектированным.

А теперь начинается настоящая игра в кости.

Когда вы бросаете игральную кость, вероятность выпадения каждой грани должна быть одинаковой. В противном случае соперники нервничают, становятся подозрительными и перестают приглашать вас на вечеринки, где играют в нарды.

Полезная отправная точка: конгруэнтность. Две геометрические фигуры называют конгруэнтными, если одну можно наложить на другую так, чтобы они совпали. Конгруэнтные геометрические фигуры — неотличимые близнецы, углы и стороны одной равны соответствующим углам и сторонам другой. Таким образом, первая идея проектирования честной игральной кости — убедитесь, что все грани конгруэнтны друг другу.

Звучит отлично… пока не встретишься с курносым дисфеноидом.

Этот полиэдр, многорылый слепыш, развенчивает наши надежды. Все его 12 граней — идентичные друг другу равносторонние треугольники. Но эту игральную кость нельзя назвать честной[56].

В некоторых его вершинах пересекаются четыре треугольника, а в прочих — пять треугольников. Когда вы кидаете на стол этого маленького монстра, некоторые грани выпадают чаще, чем другие. Боюсь, что конгруэнтности граней недостаточно.

Нам нужна симметрия.

Говоря простым языком, симметрия означает неуловимое, ласкающее глаз единообразие.

Ее математический смысл гораздо конкретнее: геометрическое действие, преобразующее объект, но не меняющее его сути. Например, у квадратного стола есть восемь видов симметрии:

Симметрические отображения не меняют форму стола, однако внимательный анализ показывает, что они меняют местами его углы. Например, поворот на 180º меняет местами противоположные углы: № 1 занимает место № 3, и то же самое с № 2 и № 4. Сравните с отражением по диагонали, которое меняет местами углы № 2 и № 4, но оставляет на своих местах углы № 1 и № 3. Симметрические отображения игральной кости работают примерно так же: грани меняются местами, но форма остается неизменной.

Симметрия предлагает верный путь к честной игре. Просто выберите геометрическое тело, достаточно симметричное, чтобы все грани можно было поменять местами.

Например, бипирамида. Возьмите две идентичных пирамиды и приклейте их основания друг к другу. Правильная комбинация поворотов сможет поменять любую треугольную грань на любую другую, и это означает, что все грани геометрически эквивалентны и игральная кость честная.

Другой пример: трапецоэдр. Он выглядит как бипирамида с изящной резьбой по экватору, которая превращает треугольники в четырехугольники, похожие на воздушных змеев.

Вы можете сделать бипирамиду или трапецоэдр с любым количеством граней: 8, 14, 26, 398. Теоретически любая из этих игральных костей обеспечит честную игру, грани будут выпадать с одинаковой вероятностью. Наверное, вы думаете, что мы решили проблему. Игра в кости окончена, да? Не так быстро! Люди гораздо капризнее. Недостаточно, чтобы игральная кость была честной…

Мы встретились с номинантами на роль игральной кости, которые (1) легко поддаются определению, (2) дают справедливые результаты и (3) носят потрясающие греческие и латинские именами. Однако эти многообещающие модели — стопроцентные исторические неудачники, провалившиеся кандидаты в президенты мира случайности. Насколько я знаю, ни одна цивилизация, играющая в кости, не пользовалась бипирамидой и есть всего один пример использования трапецоида: теневое сообщество фанатов настольной игры «Подземелья и драконы», где используют десятигранный трапецоид (d10).

Человечество, почему ты так привередливо? Как ты можешь отвергать прекрасные формы и разбрасываться честными игральными костями?

Киньте на стол тощую бипирамиду, и вы увидите, в чем проблема. Она не кувыркается. Уравновешенная двумя заостренными концами, она почти что катится, словно рулон бумажных полотенец, заваливаясь влево-вправо и повышая шансы то одной, то другой группы граней. Ее равновесие после остановки хрупко; один неосторожный вздох — и она перевернется на другую грань. Это не рецепт веселой игры в парчиси, а гарантия семейного скандала со взаимными упреками.

У наилучшей игральной кости симметричны не только грани. Нужно, чтобы все ее компоненты было симметричными. И если вы страстный поклонник многогранников, то вы понимаете, что это значит.

Платоновы тела!