Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность - Бен Орлин

Если форма для тортов стала больше, ее периметр (одномерная величина) увеличился. Но ее площадь (двумерная величина) увеличилась еще больше. Это означает, что у четырех форм поменьше общий периметр будет больше, хотя их площадь равна площади большой формы.

У маленьких форм на единицу периметра приходится меньше площади, а у большой формы — больше.

Как я ни пытаюсь, я не могу представить себе людей, которые любят обгорелые боковушки торта. Кто променяет шоколадное чудо на пытку для зубов, хрустящее недоразумение? Мне легче представить, что они предпочитают кости вместо мяса, сухари вместо крекеров, побочные эффекты вместо обезболивающего. Этим людям нет ни объяснения, ни оправдания. Берите большую форму или расходитесь по домам.

Около 2300 лет назад жители греческого острова Родос отразили нападение Александра Македонского. В порыве самовосхваления они поручили местному скульптору Харесу построить грандиозную триумфальную статую[44]. По легенде, вначале Харес планировал построить 15-метровую бронзовую скульптуру.

— А не сделать ли нам статую побольше? — сказали родосцы. — Знаешь что — удвоим высоту! Сколько это будет стоить?

— В два раза дороже, конечно, — сказал Харес.

— По рукам! — сказали родосцы.

В ходе строительства Харес увидел, что его средства иссякают. Материальные издержки ошеломили его; они намного превышали отпущенный бюджет. Впереди маячило банкротство. Говорят, что Харес расстался с жизнью, чтобы избежать финансового краха, и не увидел, как был завершен его шедевр. Но, возможно, перед тем как умереть, он осознал свою ошибку.

Он постеснялся взвинтить цену.

Для того чтобы понять, почему это так, забудьте все детали. Не обращайте внимания на рынок труда для греческих строителей или оптовые цены на бронзу. Черт возьми, забудьте даже об искусстве: представьте, что Харес просто строит исполинский бронзовый куб. Мы должны сосредоточиться на одном всепоглощающем вопросе: на размерах.

Что происходит, когда вы удваиваете размеры трехмерной геометрической фигуры?

Хорошо, вы удвоили длину; объем вырос в два раза. Вы удвоили ширину, и объем снова вырос в два раза. И вы удвоили высоту, удвоив объем в третий раз. Это тройной дубль, хотя не такой, как у Рассела Уэстбрука: в данном случае тройное удвоение означает умножение на 8.

Результат настолько же ясен, насколько поразителен: объем растет с огромной скоростью.

Утраиваем стороны куба? Объем вырастает в 27 раз. Умножаем стороны на 10? Объем абсурдным образом увеличивается в 1000 раз. И то, что верно для кубов, верно для всех трехмерных геометрических фигур: пирамид, шаров, призм и (к несчастью для Хареса) роскошных статуй бога солнца Гелиоса. В точных терминах: умножьте длины сторон на r, и объем вырастет в r3 раз.

Если бы Харес создавал одномерное произведение искусства (Колоссальную Родосскую Струну), эстетика, возможно, пострадала бы, но его ценовая политика отлично бы сработала: удваивая длину, необходимо взять в два раза больше бронзы. Или, предположим, ему было бы поручено создать двумерную картину (Колоссальный Родосский Портрет). Цена по-прежнему осталась бы заниженной, но все же не настолько: удваивая стороны холста, мы учетверяем его площадь, поэтому требуется в четыре раза больше краски. Увы, Харес имел несчастье работать во всех трех измерениях. Удвоение высоты статуи означало, что понадобится в восемь раз больше бронзы.

Когда длины сторон растут, площадь растет гораздо быстрее, а объем — еще быстрее. Колосс Родосский — одно из чудес древнего мира — обрек своего творца на муки по той простой причине, что был трехмерным[45].

Кинг-Конг, горилла размером с трехэтажный дом. Поль Баньян, лесоруб, который мог перешагивать озера. Шакил О’Нил, легендарный баскетболист ростом 213 см и весом 147 кг, которому дается все, кроме штрафных бросков. Вы знаете эти истории, и вы прекрасно понимаете, что все это фантазии, легенды, наивные выдумки. Великанов не существует[46].

Почему? Потому что размер имеет значение.

Предположим, мы возьмем в качестве образцового человеческого экземпляра Дуэйна Джонсона и удвоим его размеры. Если мы удвоим его вдоль, поперек и в высоту, общая масса тела Дуэйна вырастет в восемь раз.

Пока все в порядке. Но взгляните на его ноги. Чтобы он не падал, кости должны быть в восемь раз сильнее. Могут ли они выдержать его вес?

Сомневаюсь. Два удвоения были полезны (вдоль и поперек), но одно бесполезно: в высоту. Вы не делаете колонну крепче, удваивая ее высоту, и точно так же нога не становится сильнее, если удлиняется. Дополнительная высота не дает дополнительной прочности, просто увеличивает нагрузку, и кости сломаются под весом гигантского тела.