Игра случая. Математика и мифология совпадения - Джозеф Мазур

По определению совпадения – это события, которые происходят без очевидной причины. Очевидной для кого? Это не значит, что причины нет вовсе. Миром в основном движут причины и следствия. Я говорю «в основном», потому что существуют акаузальные феномены в физике, психологии и религии. Но слово «очевидная» говорит нам: в тот момент, когда мы узнаем причину феномена-совпадения, его статус уменьшается до простого пространственно-временного явления. Это должно означать, что совпадения имеют отношение к людям, с которыми они случаются. Это также означает, что есть неочевидная причина, ожидающая, когда ее обнаружат. Если причины нет вовсе, то событие происходит случайно.

Шанс получить туза пик из обычной, хорошо перемешанной колоды в 52 карты – 51 к 1 против события, это значит, что есть 51 шанс не вытянуть нужную карту и 1 шанс ее вытянуть. Возможность вытянуть туза любой масти – 12 к 1 против события. Проще говоря, это значит, что, сдав 13 карт, вы имеете достаточно хорошие шансы получить туза. Что произойдет в действительности – дело случая.

Предположим, вы вытянули туза пик, вложили его обратно в колоду, а потом снова его вытянули. Шансы вытянуть ту же карту все еще 51 к 1, хотя шансы сделать это два раза подряд были 2703 к 1. Иными словами, чтобы снова вытянуть туза пик, необходимы были два события, шанс каждого из которых – 51 к 1, поэтому вероятность вытянуть эту карту дважды составляет (1/52) (1/52) = 1/2704, а следовательно, шанс вытянуть туза пик дважды – 2703 к 1. Это может показаться парадоксальным, поскольку сдача второй карты ничуть не сложнее первой.

Даже при таких плохих шансах вытянуть туза пик второй раз все-таки можно. Мы по опыту знаем, что это происходит достаточно часто. Вы вполне можете поставить доллар на то, что вытянете туза пик два раза подряд, но все, что у вас есть, ставить не надо. Разумно было бы поставить доллар на то, что вы вытянете туза пик дважды, но с выплатой не меньше, чем 2703 к 1. Таким образом, если у вас есть несколько тысяч долларов, можно сыграть несколько тысяч раз и выйти, оставшись при своих… ха-ха… с довольно значительным шансом выиграть хотя бы раз.

Конечно, маловероятно, что получится вытянуть туза пик в 3-й или в 4-й раз. Вероятность сдать его 4 раза составляет (1/52) (1/52) (1/52) (1/52) = 1/7 311 616, т. е. шансы против события будут 7 311 615 к 1. Маловероятно, но возможно. Но в этот раз не стоит ставить даже доллар. В самом деле, можно его вытянуть 50 раз подряд, или 100 раз, или вообще любое число раз.

Если вы 4 раза подряд вытянули туза пик, то у вас могут появиться сомнения по поводу колоды. Но случай – странная вещь. Никакие законы случайности не препятствуют тому, чтобы этот туз пик появился 4 раза подряд. С равной вероятностью можно бросать ноты на бумагу, ожидая, что они сложатся в сонату Бетховена. Вы не станете утверждать, что можете писать музыку так же хорошо, как Бетховен, просто «подбрасывая» ноты в воздух. Но если заниматься этим достаточно часто, то когда-нибудь наверняка получится сносная соната.

Теперь давайте предположим, что вы играете в покер еще с 10 игроками. Шанс получить флеш-рояль, скажем, на «крести»: A♣ K♣ Q♣ J♣ 10♣ – составляет 2 598 959 к 1. Почему? Потому что есть 52 отдельных варианта получить первую карту, 51 отдельный вариант получить следующую, 50 вариантов получить третью, 49 вариантов получить четвертую и, наконец, 48 вариантов получить пятую. Иными словами, у нас 52 × 51 × 50 × 49 × 48 отдельных вариантов получить все пять карт. Но это число слишком велико. Оно предполагает, что комбинация была сдана в особом порядке, но в каком именно? Это не имеет значения. Вы могли получить туз 1-, 2-, 3-, 4-м или последним. Если установить, когда был сдан туз, то остается 4 варианта для короля, 3 для дамы, 2 для валета и 1 для десятки. Тогда, чтобы рассчитать число вариантов сдачи комбинации, мы должны разделить (52 × 51 × 50 × 49 × 48) на (5 × 4 × 3 × 2 × 1) и получить 2 598 960. Это означает, что существует 2 598 959 шансов НЕ получить комбинацию A♣ K♣ Q♣ J♣ 10♣ и только один – получить ее. Но шанс получить ничего не стоящую комбинацию тот же. Все согласятся, что комбинация 3♠ 6♥ 8♣ J♦ Q♠ – никчемная.

Шансы получить эту никчемную комбинацию также 2 598 959 к 1. Посмотрим на это с другой стороны: шанс, что вы получите A♣ K♣ Q♣ J♣ 10♣, гораздо меньше, чем шанс, что эту комбинацию получит любой из игроков.

Есть по крайней мере две математические модели, которые дают нам надлежащие способы оценки совпадений. Одна из них – задача о дне рождения, которая гласит: в любой группе из 23 человек шансы на то, что у 2 людей в этой группе совпадут дни рождения, выше, чем 1 к 1. Вторая – задача об обезьянах, в которой спрашивается: сможет ли обезьяна (если дать ей сколь угодно долгое время), случайным образом нажимающая на кнопки на клавиатуре компьютера, написать первую строку из сонета Шекспира?

Задача о дне рождения широко растиражирована в Сети и в популярных книгах по математике, а также является одним из наиболее исследованных курьезов, поэтому может показаться, что задача чрезмерно утрирована. Однако она также является моделью для осмысления совпадений – возможно, лучшей из имеющихся. Быть может, ее следует считать задачей о совпадении; в конце концов нас интересует возможность того, что в большой группе пространственно-временных событий одновременно произойдут два события A и B. Мы можем спросить: насколько большой должна быть группа событий, чтобы шансы совпадения A и B были выше, чем 1 к 1? Задача также достаточно хорошо поддается обобщению для того, чтобы дать нам возможность понять, как законы вероятности соотносятся с интуицией. В стандартном виде задача формулируется таким образом: в группе из N случайно выбранных людей насколько велико должно быть N, чтобы шансы на то, что у 2 людей в этой группе совпадают дни рождения (число и месяц), были выше, чем 1 к 1? Ответ: N = 23, удивительно малое число.

Найти N несложно. Пусть p (N) обозначает вероятность того, что у N человек дни рождения не совпадают. Сначала предположим, что N = 2. Тогда p (2) = 365/365 × 364/365, потому что любой из двоих людей может быть рожден в любой из 365 дней, исключая при этом один день для другого человека. Эта p (2) очень-очень близка к 1. Что неудивительно. Далее: предположим, что N = 3. По той же причине, что и в случае с N = 2, день рождения третьего человека не может совпадать с днями рождения двух других, т. е. p (3) = 365/365 × 364/365 × 363/365. Произведение легко сосчитать на калькуляторе. Продолжая таким образом, мы видим, что p (N) сокращается по мере того, как N увеличивается. В определенный момент мы дойдем до N = 23 и произведем следующие расчеты:

p (23) = 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 = (1/365)²³ × (365 × 364 × 363 ×… × 343) = 0,4927