Игра случая. Математика и мифология совпадения - Джозеф Мазур

Закон больших чисел – важнейшая зацепка, связывающая математическую теорию с физическими феноменами. Он в ответе за многие чудеса нашей замечательной Вселенной, а также за то, как природа создает материальный и энергетический хаос в инертном и однородном. Он даже наводит нас на мысль о том, что масштабные события во Вселенной являются результатами неимоверно долгой игры в кости или в орлянку.

Легко поверить, что события сходятся в пространстве и времени не по воле слепого случая, но в силу некоего предназначения. Так ли это? Возьмем ситуацию с чернилами, растворяющимися в воде. Одна-единственная капля чернил на бутылку воды равномерно изменит цвет всей воды в бутылке. Чернила равномерно расходятся по всей бутылке из-за предназначения или цвет равномерно изменяется только из-за случайности? Предположим, что цвет – синий. Сначала вы увидите, как капля синих чернил соскальзывает с пипетки. Если капля не вызовет всплеска при контакте с водой, вы увидите синюю сферу, красиво меняющую формы по мере того, как она опускается на дно бутылки. Потом она превратится в тороид. Этот тороид растянется и станет квадратным тороидом со сферами на краях. Сферы разделятся и образуют четыре тороида. Эти четыре тороида повторят процесс и образуют 16 тороидов. Морфоз и деление будут продолжаться, пока сферы не ударятся либо о стенки бутылки, либо о ее дно. Физика прекрасно предсказывает все это, учитывая все силы, действующие на сферы и тороиды. Иными словами, у цветных чернил предсказуемая судьба, движимая и направляемая физикой процесса (а именно поверхностным натяжением краски, отношением давления/выталкивающей силы между двумя средами, векторами выталкивающей силы, направленными вверх, и скоростью молекул) и математикой фигур. Но, когда эти фигуры встречаются со стенками, в игру вступает нечто новое. Поверхностное натяжение нарушено, молекулярные связи разорваны, симметрия сломана, и внесен элемент случайности. В этот момент между двумя жидкостями появляется вихревое движение, которое делает вероятность возвращения к какой-либо симметрии бесконечно малой. Рассеивание молекул жидкости идет, по-видимому, в случайных направлениях.

Что происходит, если капля создает небольшой всплеск? В этом случае вы увидите, как сфера медленно опускается вниз и рассеивается на великолепные фигуры, похожие на перистые облака при легком ветре. Через несколько минут в зависимости от глубины вода станет равномерно синей – чернила растворятся вообще без какой-либо формы{97}. Хотя существует до смешного малый шанс, что капля вернется к своей исходной форме, он настолько близок к нулю, что этой вероятностью мы можем легко пренебречь. Никто никогда не сообщал о том, что наблюдал подобное. Вероятность такого невероятного события измеряется числом столь малым, что количество нулей после запятой будет больше, чем число песчинок на Земле. Но это не значит, что такое не может произойти. Это явление позволяет указать направление течения времени. В прошлом была капля, а в настоящем – равномерно синяя вода.

Что в действительности произошло в бутылке, чтобы вода из прозрачной стала синей? Если мы рассмотрим вопрос на молекулярном уровне, то поймем, что каждая молекула чернил не просто бесцельно блуждает среди молекул воды. Есть связи, удерживающие молекулы вместе, но, в каком бы направлении ни двинулись молекулы, их движение упорядоченно и только кажется случайным.

Что произойдет, если молекулярные связи слабее? Чтобы дать ответ, мы изменим ход эксперимента. Вместо чернил используем кофе очень тонкого помола. С левого края прямоугольного блюда с холодной водой насыплем кофе очень тонкого помола. Рисунок 9.1 – это схема того, что произойдет на уровне, близком к микроскопическому. Точками показаны скопления частиц кофе, уменьшающиеся слева направо. Подождите несколько секунд и посмотрите, что произойдет. Концентрация постепенно изменяется слева направо, от большей к меньшей, пока не становится равномерной по всему блюду.

Можно подумать, что некая сила движет частицы в направлении от более насыщенной области к менее насыщенной. Но такой силы не существует. Частицам все равно куда двигаться. Каждая из частиц в этой системе независима от остальных. Каждая из частиц колеблется от столкновения с молекулами воды, в результате чего отскакивает в совершенно непредсказуемом направлении. Путь каждой частицы определяется случайным образом, по крайней мере не менее случайным, чем любое событие в реальной жизни. Чтобы понять, что же происходит, поместим воображаемую линию поперек емкости, разделив стороны с высокой и низкой плотностью частиц, и спросим: насколько вероятно, что частица на воображаемой линии двинется вправо? Ответ таков: она с равной вероятностью может двинуться и вправо, и влево. Больше частиц двинутся слева направо, чем справа налево, просто потому, что с левой стороны воображаемой стенки их больше, чем с правой. Иными словами, рассеивание до состояния равномерности происходит лишь оттого, что вероятности движения молекул в любом из направлений равны. То же самое происходит на доске Гальтона (см. рис. 5.3).

Второй закон термодинамики говорит о том, что в ту же самую игру можно сыграть с газами. Возьмем две емкости, в одной – газ под некоторым давлением, вторая будет пустой. Соединим две емкости трубкой, по которой газ может свободно перемещаться. Газ начнет быстро распространяться, пока давление в обеих емкостях не уравняется. Уравнивание давления – это один из примеров всеобщей тенденции частиц распространяться по как можно большему числу направлений. Вот что удивительно: молекулы газа будут случайным образом соударяться, как пузырьки в кипящем чайнике, таким образом, что каждая из них на некоторое время возвратится в емкость, в которой находилась изначально. Анри Пуанкаре продемонстрировал это в общей теореме о динамических системах.

Представьте, что произойдет, если вы поместите большое число блох на середину шахматной доски? Блохи очень быстро начнут прыгать во всех направлениях, пока не заполнят всю доску. Как и тонко молотый кофе в блюде с холодной водой, блохи просто прыгают туда-сюда без какого-либо заранее заданного направления. Ни одна блоха не пытается занять как можно больше пространства, поскольку, даже если у нее будет много пространства, она снова прыгает в случайном направлении. Блохи распространяются по доске в результате случайных прыжков. Вернутся ли они когда-нибудь на те клетки, с которых стартовали, если будут продолжать прыгать? Вероятно, нет. Однако рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Представьте две емкости. В одной, обозначенной литерой A, находится сотня мячей, на каждом из которых нанесены числа от 1 до 100. В другой, обозначенной литерой B, нет ничего. Также представьте ведро с фишками, пронумерованными от 1 до 100. Выберем наудачу фишку и прочтем ее номер – N. Возьмем мяч с номером N из емкости A и поместим его в емкость B. Вернем фишку на место и повторим процесс. Каждый раз, когда выбрана фишка с номером N, мы перемещаем мяч с номером N из той емкости, в которой он в этот момент находится, в другую. Можете предположить, что произойдет? Да, число мячей в емкости A будет экспоненциально[16] уменьшаться до тех пор, пока в обеих емкостях не окажется примерно равное число мячей. Но по мере того как число мячей в емкости A уменьшается, так же уменьшается и вероятность выбора фишки с номером мяча из емкости A. На самом деле скорость такого уменьшения пропорциональна числу мячей в емкости A. Теперь я повторю вопрос: можете предположить, что произойдет в долгосрочной перспективе? Может показаться контринтуитивным, даже удивительным, но все мячи с абсолютной достоверностью со временем вернутся в емкость A, хотя это и займет неимоверно много времени. Общая теорема динамических систем Пуанкаре это предсказывает{98}. Она свидетельствует – на что указывали и Платон, и Бернулли – о существовании апокатастасиса: «…что по прошествии бесчисленного множества веков все вернется к своему изначальному состоянию»{99}. Ныне покойный сэр Джеймс Джинс, прославленный физик, получивший рыцарский титул за вклад в астрономию и популяризацию физики, любил заметить, что любой, кто еще дышит сегодня, вдыхает молекулы, которые составили последние вздохи умирающего Юлия Цезаря.