Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус Дю Сотой

Чтобы попасть в четвертое измерение, нужно начать со второго. Предположим, я хочу описать квадрат в терминах картезианского словаря координат: я могу сказать, что квадрат – это фигура с четырьмя вершинами, расположенными в точках (0,0), (1,0), (0,1) и (1,1). Очевидно, для определения любого положения в плоском двумерном мире нужны всего две координаты, но, если я захочу учесть еще и высоту над уровнем моря, можно добавить третью координату. Третья координата также понадобится, если я захочу описать при помощи координат трехмерный куб. Восемь вершин куба можно описать точками (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) и, наконец, крайней точкой с координатами (1,1,1).

Рис. 3.4. Построение гиперкуба при помощи координат

В одной колонке словаря Декарта содержатся фигуры и геометрические свойства, а в другой – числа и координаты. Проблема заключается в том, что при попытке выйти за пределы трехмерных тел визуальное восприятие отказывает, потому что физического четвертого измерения не существует. Но у словаря Декарта есть одно великолепное свойство, которое осознал великий немецкий математик XIX века Бернхард Риман, учившийся у Гаусса в Геттингене: вторая сторона словаря продолжает действовать даже и в этом случае.

Чтобы описать четырехмерный объект, нужно всего лишь добавить четвертую координату, указывающую величину смещения в этом новом направлении. Хотя я не могу построить четырехмерный куб физически, тем не менее я могу точно описать его при помощи чисел. У него 16 вершин начиная с точки (0,0,0,0), за которой идут вершины в точках (1,0,0,0), (0,1,0,0) и так далее, вплоть до самой удаленной от первой вершины в точке (1,1,1,1). Числа образуют код, описывающий фигуру. При помощи этого кода я могу исследовать эту фигуру, причем мне даже не нужно видеть ее физически.

Этим дело не кончается. Можно перейти к пяти, шести и даже большему числу измерений и построить гиперкубы и в этих мирах. Например, у N-мерного гиперкуба должно быть 2N вершин. От каждой из этих вершин отходят N ребер, каждое из которых мы учитываем дважды. Следовательно, N-мерный куб имеет N × 2N –1 ребер.

Когда я попробовал на зуб четырехмерный куб, это разожгло во мне аппетит к открытию других фигур в этой необычной многомерной вселенной. Построение в ней новых симметричных объектов стало моей страстью. Например, если вы когда-нибудь бывали в великолепном дворце Альгамбра в Гранаде, вас (я надеюсь) привели в восторг те чудесные игры в симметрию, в которые играли на его стенах художники. Но можно ли понять эти симметрии? Мой шорткат к пониманию с первого взгляда того, что кажется очень наглядным, – это превращение симметрии в язык.

Создание нового языка для понимания симметрии, известного под названием «теория групп», относится к началу XIX века. Этот язык был порождением ума одного выдающегося молодого человека – французского революционера Эвариста Галуа. К несчастью, его жизнь оборвалась до того, как он сумел в полной мере реализовать потенциальные возможности своего открытия. В двадцатилетнем возрасте он был застрелен на дуэли, поводом для которой были любовь и политика.

Хотя две разные стены в Альгамбре украшены очень разными узорами, математика симметрии позволяет установить, что симметрии этих двух стен одинаковы. Такова сила нового языка, который создал Галуа.

Симметрию можно определить как те действия, производимые над объектом, после которых он выглядит так же, как и до них. Галуа понял, что важная характеристика симметрии заключается во взаимодействии между отдельными симметриями. Что, если дать симметриям названия? Тогда можно найти своего рода грамматику, на которой основаны все они. Эта грамматика стала шорткатом к пониманию мира симметрий. Изображения исчезли, а на их месте возникла особая алгебра, выражающая, как симметрии взаимодействуют друг с другом.

При помощи теории групп к концу XIX века математики сумели доказать, что существует всего 17 разных типов симметрии орнаментов, которые возможно изобразить на стенах Альгамбры или где бы то ни было еще. Мои собственные исследования продолжают эти изыскания, выводя их в гиперпространство. Я пытаюсь понять, сколькими разными способами можно украсить Альгамбру орнаментами в многомерном пространстве. Речь идет о здании, построенном не из камня, а из языка.

Эти сюрреалистические формы можно увидеть и в нашем обыденном трехмерном мире. Большая арка Дефанс в пригороде Парижа, которую построил датский архитектор Йохан Отто фон Спрекельсен, на самом деле представляет собой трехмерную проекцию четырехмерного куба, или куба, заключенного в кубе. На картине Сальвадора Дали «Распятие, или Гиперкубическое тело» Христос изображен распятым на трехмерной развертке четырехмерного гиперкуба.

Есть даже компьютерная игра, которая должна позволить игрокам получить опыт существования в четырехмерном пространстве. Ее придумал разработчик компьютерных игр Марк тен Бош, который работает над созданием этой гиперигры уже более десятилетия. Игрок, перед которым на экране оказалась стена, не позволяющая ему пройти дальше в трехмерном мире, может включить четвертое измерение и, переместившись в новом направлении, найти параллельный мир, в котором есть шорткат за эту стену. Судя по всему, игра должна получиться потрясающей, и я с нетерпением жду ее выпуска. Однако я подозреваю, что ее разработка так сильно затянулась отчасти из-за того, насколько разработчику с трехмерным разумом трудно создавать и объединять все эти четырехмерные миры.

Я вообще очень люблю игры, и не только безумные четырехмерные. Мне нравится коллекционировать новые игры в поездках по всему миру. Но меня не перестает поражать тот факт, что игры из разных уголков света, хотя они и выглядят совершенно не похоже друг на друга, часто бывают, по сути дела, одной и той же игрой в разных нарядах. Это навело меня на мысль, что во многие игры гораздо проще играть, если удастся превратить их в другие, непохожие с виду, игры.

Многие из задач, которые нам приходится решать в жизни, – это, по сути дела, замаскированные игры. Потенциальное сотрудничество между двумя конкурирующими компаниями часто оказывается примером игры под названием «дилемма заключенного». В соперничестве трех сторон может скрываться игра камень-ножницы-бумага. Если вы видели фильм «Игры разума», вы, возможно, помните тот момент, когда один из создателей теории игр, Джон Нэш, которого играет Рассел Кроу, превращает в игру попытку познакомиться в баре с красивой женщиной. Но у игр есть правила, которые очень хорошо умеет описывать математика. Один из величайших шорткатов к победе в игре, открытых математикой, – это превращение игры в нечто совершенно иное, при котором победная стратегия становится гораздо более ясной.

Один из моих любимых примеров такого рода связан с игрой под названием «15». Каждый из участников игры по очереди выбирает числа от 1 до 9, стремясь получить три числа, дающие в сумме 15. Нужно, чтобы пятнадцати была равна именно сумма трех чисел. Например, 1 + 9 + 5. Выбрать 6 + 9 нельзя. Играть в эту игру довольно сложно, потому что нужно не только держать в голове разные способы получить 15 из имеющихся у вас чисел, но и стараться не дать сопернику получить 15 раньше вас. Чтобы почувствовать, как трудно бывает учесть все возможные варианты, имеет смысл сыграть пробную партию с другом.