Детский университет. Исследователи объясняют загадки мира. Книга первая - Ульрих Янссен

Правильно. Ответ — снова число, которое, как слово «топот», одинаково читается слева направо и справа налево. Давайте назовем его «топот-числом». Оно начинается с 1, затем цифры в нем постепенно и равномерно растут, а потом снова уменьшаются до 1. Посередине стоит самая большая цифра, которая странным образом равняется количеству единиц в каждом из множителей. Так что 111111 × 111111 = 12 345 654 321.

Может, тут действует какой-то таинственный закон? Правило, которому должен подчиняться всякий отряд единиц? Некий «топот-принцип»? Чтобы выяснить, продолжает ли работать это правило, когда числа становятся больше, вообще-то нам следовало бы считать дальше. И мы бы считали. И считали. И считали. И все равно в итоге не выяснили бы, работает ли этот принцип для самых длинных рядов единиц, которые только можно себе представить.

Так не годится. Но на это есть своя причина. Ведь мы совершенно случайно наткнулись на одно из самых захватывающих свойств царства чисел: оно не имеет пределов. Даже самый длинный ряд единиц всегда можно дополнить еще одной. Можно было бы нарисовать ряд единиц от этой книги до Луны, но приписать к ней еще одну единичку все равно проще простого. Даже если бы мы продолжили ряд единиц до границ нашей Солнечной системы, все равно к нему можно было бы добавить еще одну единицу. Даже внешняя граница космоса не смогла бы их остановить. Самого длинного ряда единиц просто не существует. Как не существует и самого длинного ряда пятерок или девяток. Вообще не существует ни самого длинного, ни самого большого числа, потому что всегда найдется число больше. А теперь самое потрясающее: существует не одно число, а бесконечное количество чисел, больших самого большого числа, которое мы можем себе представить.

Для нас это означает вот что: даже если бы мы считали бесконечно долго, мы бы все равно не узнали, справедлив ли «топот-принцип» для всех рядов единиц. Всегда бы оставался такой ряд единиц, который мы еще не проверяли. То есть тут нужно правило, которое бы охватывало все без исключения ряды единиц. Такими вещами и занимаются математики. Они не особенно интересуются частными случаями, а ищут законы, непреложные правила, справедливые для всего бесконечно большого царства чисел. Вечные правила. Правила, которым подчиняются все, абсолютно все жители страны чисел.

В нашем случае жителей царства чисел можно успокоить. Никакой закон не предписывает им подчиняться «топот-принципу» каждый раз при умножении на отряд единиц. В этом можно убедиться путем перебора. Уже при ряде единиц из десяти штук принцип опасно колеблется, ведь цифра в середине не может быть больше 9. При десяти единицах в ряду результат умножения будет такой: 1111111111 × 1111111111 = 1 234 567 900 987 654 321. Отголосок «топота» еще слышен, но уже не очень четко. А если добавить еще одну единицу в ряд, «топот-принцип» окончательно исчезнет. Получится 123 456 790 120 987 654 321. Все, «топот» замолк. Прощай!

И здравствуй, Карл Фридрих Гаусс! Самое время тебе появиться! Чтобы понять, с каким удовольствием математики общаются с царством чисел, нам пора наконец познакомиться с настоящим математиком. Карл Фридрих Гаусс был не просто настоящим математиком, а одним из самых знаменитых математиков в мире. Он жил с 1777 по 1855 год в Геттингене, где в течение 48 лет преподавал в университете. С математикой у Гаусса было хорошо с раннего детства. «Считать я научился раньше, чем писать», — говорил он. А его отец вспоминал, как сын однажды указал ему на ошибку в подсчетах. А ведь малышу в ту пору было всего три года! Так что Гаусс был настоящим вундеркиндом, но таким, которого в школе замечают только на уроке математики. У его учителя, герра Бюттнера, была привычка давать своим ученикам на уроке ужасно длинные арифметические примеры. Это позволяло ему, пока дети корпят над заданиями, спокойно дремать или ковырять в носу.

Однажды он задал своим ученикам сложить сто чисел. 1 + 2 + 3 + 4 + … и так далее до 100. Весь класс храбро принялся считать. 1 плюс 2 будет 3, плюс 4 — семь, плюс пять — 12… Только один мальчик не стал считать, как все: маленький Карл Фридрих, подумав пару секунд, записал на своей грифельной доске одно-единственное число и хлопнул ее на стол учителю со словами: «Вот и все!»

Учитель Бюттнер сначала протер глаза, а затем потер руки. Что такое? С чего этот малявка отважился дерзить? Он сурово взглянул на маленького Карла Фридриха, но тот только довольно улыбался в ответ. Когда закончится урок, решил герр Бюттнер, я научу маленького наглеца, как себя вести, парочкой ударов розог. Но когда в конце урока все ученики сдали свои работы, все получилось совсем не так, как представлял учитель. Он посмотрел ответы ребят, и на него напал сильнейший приступ кашля. Пока другие мучились с вычислениями и лишь немногие получили правильный ответ, Гаусс на своей доске написал одно-единственное число. Причем правильное. Что это, чудо?

Вовсе нет. Карл Фридрих Гаусс просто наглядно показал своему учителю разницу между арифметикой и математикой. Пока учитель и остальные ученики мучительно складывали все числа от 1 до 100 одно за другим, он подошел к заданию математически. Он заметил, что начальные числа образуют очень удобные пары с конечными. То есть 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98. Если так продолжать дальше, то получится 50 пар, дающих одинаковую сумму. 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 и так далее. Теперь осталось только умножить в уме 101 на 50 и записать правильный ответ: 5050.

Конечно, маленький Карл Фридрих Гаусс и считать отлично умел. Каждый математик умеет выполнять основные арифметические действия. Но смысл математики состоит не в вычислениях. Математика — это по большей части поиск решений и описание принципов, стоящих за теми или иными задачами. А так как эти принципы нужно описывать очень точно, математики с удовольствием пользуются формулами. Просто так удобнее. Если бы мы захотели описать идею Гаусса обычными словами, нам понадобилось бы много места. Давайте попробуем. «Для того чтобы найти сумму ряда слагаемых, начинающегося с единицы и заканчивающегося сотней, каждый последующий член которого увеличивается на один, необходимо сложить попарно эти числа — первое с последним, второе с предпоследним и так далее — и умножить полученную сумму на половину количества слагаемых в ряде…» И так далее и тому подобное. Кто это поймет? Кто сможет разобраться?