Время переменных. Математический анализ в безумном мире - Бен Орлин

Каким же образом конкретное значение уступает чистой абстракции? Наберитесь храбрости, и я вам это покажу.

Начнем с дружелюбной физиономии прямоугольника со сторонами А и В. Его площадь является произведением этих сторон АВ.

Теперь представим, что его параметры меняются со временем, как у города, год за годом разрастающегося на север и на восток. Ширина (А) растет со скоростью А´, а длина (В) – со скоростью В´.

Вопрос: как быстро увеличивается площадь АВ?

Это математический анализ, то есть мы размышляем об отдельно взятом моменте. В это летучее мгновение ширина увеличивается на бесконечно малую величину (которую мы можем назвать dA или А´), и длина делает то же самое (соответственно, при этом получается dB или В´).

Мы можем разделить эту зону роста на три части: (1) длинная тонкая полоса справа, (2) еще одна сверху и (3) крошечный квадратик. Этой умилительной третьей частью можно пренебречь по причинам, описанным в главе X; если каждая тонкая полоска имеет толщину человеческого волоса, то квадратик имеет площадь, как у одной-единственной клетки. Мы можем исключить его из наших расчетов.

Теперь определим, насколько велики две оставшиеся зоны роста. С рисунком это очень просто: одна – произведение А´ на В, а другая – В´ на А.

Таким образом, размер зоны роста – это сумма площадей двух полосок.

Пока что все идет хорошо? Ну так пришло время забыть обо всем. Забудьте прямоугольник и полоски роста. Забудьте сопутствующие факторы, геометрическое значение и логическую цепочку. Забудьте, что мы с вами когда-то встречались, забудьте, что этот прямоугольник вообще существовал. На обесцвеченной поверхности вашей памяти остается только одна, последняя строка символов: (АВ) ´ = А´В + В´А.

Теперь применим ее наугад к тысяче различных сценариев. Применим к x sin (x), к ex cos (x) и (х + 7)10(3х – 1)9. Применим к физике, экономике, биологии и, пока Меркурий в зените, к астрологии. Применим механически и бессмысленно, как робот, который делает свою автоматическую домашнюю работу.

Эта бессмысленная манипуляция, это «перебрасывание символами» – не ошибка математического анализа. Это его особенность.

Матан – система, бюрократическое образование, формализованный свод правил. Посмотрите на само происхождение термина: английское слово calculus происходит от латинского «камешек», указывающего на те камни, которые использовались для счета на абаке. Абак – это средство для расчетов, инструмент для механизации мысли, и это роднит его с математическим анализом.

Как объясняет Владимир Арнольд, Готфрид Лейбниц старался разработать математический анализ «в виде, специально приспособленном для обучения людей, которые его совсем не понимают»[28].

Эта фраза попадает в яблочко. Арнольд совершенно прав. В начале XVII в. перебрасывание символами было не в моде. «Символы бедны и некрасивы, но они необходимые подпорки для иллюстрации, – писал философ Томас Гоббс, – им уместно появляться на публике не более, чем позорным необходимым делам, которыми вы занимаетесь в своих комнатах». И не сказать, что Гоббс был одинок в своем брюзжании. В то время математическая традиция предпочитала ненадежным алгебраическим выводам точность геометрии.

Но в подходе Гоббса есть недостаток, на который с радостью укажет любой студент: вы должны все понимать. Это тошнотворное, скудное и жестокое дело, и очень небыстрое.

Множество математиков работало с производными и интегралами до Ньютона и Лейбница. Но они решали свои проблемы мудрыми методами для «одноразового употребления», то есть подходящими к конкретной ситуации. Идеей «математического анализа» – словосочетание, которое ввел в обиход Лейбниц, – было создание единой структуры для вычислений. Века спустя математик Карл Гаусс будет писать о таких методах: «С их помощью нельзя достичь того, чего нельзя было бы достичь без них». В трудные моменты я говорил то же самое о вилках. Но точно так же, как я продолжал пользоваться за обедом столовыми приборами, Гаусс видел значительную ценность математического анализа: «Любой, кто всесторонне овладел им, способен без всяких бессознательных проблесков гениальности, которыми никто не может управлять, решить соответствующую проблему, даже если делает это механически…»

Когда мои студенты прибегают к зазубриванию правил, они не предают дух математического анализа. Они принимают его. Даже когда они возвращаются к неверной формуле (АВ)´ = А´В´ – искушающая цепочка символов, не имеющая никакого абстрактного смысла, – они просто повторяют ошибку, которую сам Лейбниц делал в своих ранних заметках.

По своей конструкции матан – это автоматическое мышление.

К 1680 г. Лейбниц освоил бесконечно малые – одно из самых трудных и ершистых философских понятий. Почему он не добавил еще больше понятий? Почему не все понятия? Ученый задумал язык, словарь которого включал бы все возможные идеи, а грамматика воплощала бы в себе саму логику – эсперанто космоса. Универсальный алфавит (лат. characteristica universalis) интерпретировал бы все наблюдения как механические и подчиняющиеся правилам, как в арифметике. «Рассуждение, – писал Лейбниц, – будет производиться путем перемещения цифр и знаков», иначе говоря, с помощью жонглирования символами. «Если кто-то будет сомневаться в моих результатах, – продолжал он, – я должен сказать ему: «Calculemus, давайте посчитаем, сэр, и, таким образом, взяв перо и чернила, мы вскоре сумеем решить вопрос».