Время переменных. Математический анализ в безумном мире - Бен Орлин

Быстрая перестановка удваивает количество сторон в моей фигуре с трех до шести.

– Шестиугольник, – заявляю я. – Да. Теперь периметр этой фигуры равен трем диаметрам. И это действительно длина окружности, не так ли?

Едва ли. Мы только воссоздали предположение из оригинальной «Математики в девяти главах». Тем не менее, если еще немного поделить и разложить, мы последуем за Лю Хуэем и получим фигуру с 12 сторонами.

Немного тригонометрических вычислений на коленке, и мы узнаем, что периметр 12-угольника равен 3√– 6 − 3√– 2, или приблизительно 3,11.

Уже лучше. Но все еще не длина окружности. Не точно.

«Делите снова и снова, пока не настанет момент, когда дальше делить будет невозможно, – писал Лю Хуэй. – В результате мы получим правильный многоугольник, вписанный в окружность, и не останется никаких пустых участков». На самом деле этот процесс никогда не завершится, но он приближает к истине. Зубочистки ломаются на все меньшие и меньшие кусочки, где-то в конце вечности процесс достигнет апогея, и у нас будет неисчислимое множество кусков, каждый из которых является бесконечно малым. Все вместе они составят длину окружности.

Лю Хуэй дошел до многоугольника со 192 сторонами. В V в. его последователь Цзу Чунчжи сделал даже больше – 3072 стороны, и это позволило ему добиться такой точности, которую в течение следующего тысячелетия не смог превзойти никто. Длина окружности, по оценке Цзу, составляла 3,1415926 диаметра.

Знакомые цифры?

Сегодняшние поклонники числа π, бурно отмечающие его день и страницами заучивающие знаки после запятой, не первые в своем страстном увлечении. В XV в. индийские и персидские исследователи заложили зачатки математического анализа, определив число π с точностью до 15-го знака после запятой. В 1800-х гг. упрямец Уильям Шэнкс потратил десять лет своей жизни на то, чтобы вычислить 707 знаков, причем первые 527 из них действительно оказались правильными. Сегодняшние суперкомпьютеры могут рассчитать число π с точностью до миллиардного знака; если все эти цифры распечатать, а страницы с ними переплести, то получится библиотека, по размеру сопоставимая с гарвардской и такая же скучная.

Если учесть, что ряд чисел бесконечен, мы нисколько не приближаемся к концу. И все эти знаки совершенно бесполезны, нам никогда не понадобится ни один из тех, что находятся дальше первых нескольких десятков. Так почему же число π так нас завораживает?

Причина, думаю, очень проста. Люди что-то видят, и людям нужно это измерить. Круг – это неотъемлемая и неподатливая часть нашей реальности, как масса Земли, расстояние до Луны или количество звезд в Галактике. Даже более неподатливая, чем другие, потому что число π не меняется со временем. Оно остается константой логического мироздания. Поэт и лауреат Нобелевской премии Вислава Шимборская посвятила числу π гимн. Она писала: «ибо небо и земля прейдут, / но не Пи, только не оно, / оно продолжается пять, / уходит восемь, / не останавливаясь семь, / стремя, о, стремя беспечную вечность / все дальше»[31].

Математики Античности рассекали окружность на неисчислимые куски, каждый из которых был бесконечно малым. Они делали это, чтобы лучше познать целое – площадь из клочков, длину окружности из обломков. Оглядываясь назад, мы можем распознать в этих попытках древних математиков то, чем они и являлись, – начало интегрального исчисления.

Я назвал часть своей книги, посвященную интегральному исчислению, «Вечности» в основном потому, что таким образом получается поэтическая пара названию «Мгновения». Кто-то другой мог бы назвать эти истории об интегралах «Эпопеи», «Совокупности», «Океаны» или…

Где-то в этот момент мой собеседник опускает глаза. Я следую за ним взглядом и вижу, что ковер засыпан обломками зубочисток и кусочками огурцов.

– Наверное, мы должны все это убрать, – говорю я.

Но к тому времени, когда я заканчиваю предложение, мой соратник уже исчезает, оставив после себя один-единственный след: прямоугольник, скользнувший в мою руку так незаметно, что я даже до сих пор его не замечал, – визитную карточку.

«Война и мир» Льва Толстого – произведение настолько великое, настолько масштабное и настолько изнурительно длинное, что даже спустя 150 лет после его выхода в свет первые читатели только подбираются к концу этого эпохального романа. Кажется, они под впечатлением. «Если бы сам мир мог писать, – отмечал Исаак Бабель, – он бы писал, как Толстой». Среди шести квинтиллионов страниц романа скрыты мысли Толстого о самом его творении, о том, что это значит – писать историю целой цивилизации. И его выбор метафоры – скажем так – может удивить обыкновенного читателя:

Эта своеобразная математическая фраза – «бесконечно малые элементы» в нескончаемом ряду – не случайная оговорка, сорвавшаяся с языка. Толстой говорит об интегралах.

Представьте себе битву. Встречаются две армии, одну из них ждет победа. «Военная наука, – говорит Толстой, – принимает силу войск тождественною с их числительностью»[33]. Армия из 10 000 человек в два раза сильнее, чем армия из 5000, в десять раз сильнее войска из 1000 человек и в 1000 раз сильнее, чем десяток попавшихся на вступительные ритуалы братства новобранцев только что из колледжа. Так что число о чем-то говорит.

Но Толстой усмехается. Он проводит аналогию с физикой. Какое пушечное ядро взрывается с большей силой: то, которое имеет массу десять килограммов, или то, которое весит пять килограммов? Понятно, что это зависит от того, с какой скоростью они движутся. Если я запущу легкое ядро и прокачу по ковру более тяжелое, то разница в массе не будет иметь значения. Более легкий объект окажется более мощным, а более тяжелый – безвредным.