Время переменных. Математический анализ в безумном мире - Бен Орлин

В мечтах Лейбница все было математическим анализом.

Увы, на самом деле это не так. Последние десятилетия своей жизни Лейбниц чах в маленьком городе Ганновере в Германии, его злобный работодатель заставлял ученого закончить генеалогическое исследование. Мораль для школьников: вовремя сдавайте свои сочинения.

Еще хуже вышло со спором о приоритете открытия математического анализа, который разгорелся у Лейбница с Ньютоном. Лейбниц опубликовал свои результаты первым, но Ньютон высказал схожую идею раньше, и общественное мнение оказалось на его стороне. Научная общественность признала Лейбница интеллектуальным вором. Как сказал математик Стивен Вольфрам, этот дележ математического анализа стал поворотной точкой:

Сегодня мы можем видеть, что Лейбниц стремился в будущее. Мы видим это не только в универсальном алфавите, но и в его сочинениях, где он пытался систематизировать трудные юридические случаи; в его беспрецедентной работе по бинарной системе – математике, основанной на нулях и единицах, и в машине, которую он пытался построить в течение нескольких десятков лет – одном из первых в истории механическом калькуляторе, выполняющем четыре действия.

Лейбниц стремился к компьютерной эпохе за века до ее наступления.

Компьютер – это наш универсальный язык. Он способен сделать все, что можно выразить с помощью логики. Он может умножать, делить, генерировать простые числа, добавлять собачьи мордочки на фотографии и говорить вам, на какое из классических полотен вы больше всего похожи. Он может учиться. Он может создавать. Это мыслящий механизм, непревзойденный жонглер символами, и эти символы, которыми компьютер манипулирует, формируют вещество нашей реальности.

В наши дни все вокруг действительно стало подвидом матана.

«Если бы история пошла по другому пути, – пишет Вольфрам, – то можно было бы провести прямую линию от Лейбница к современным компьютерам». В нашей реальности путь получился более извилистым. Прорывные открытия, сделанные Лейбницем в XVII в., привели к золотому веку символьных вычислений в XVIII в., которые, в свою очередь, в XIX в. вызвали обратную реакцию, когда все были одержимы аксиоматизацией и математической строгостью. В ХХ в. это вылилось в работу над формальными системами и вычислимостью, в результате чего в XXI в. появился ноутбук, на котором я сейчас печатаю это бессвязное предложение.

Побежден ли Лейбниц или ему удалось отстоять свою правоту? Живем ли мы в мире, история которого отрицает ученого? Или вокруг нас находятся его мечты? Подозреваю, что есть только один способ узнать это. Берите бумагу и ручку, друг мой. Посчитаем!

Коктейльная вечеринка. Напиток в руке, светский разговор, можно разглядывать красивых девушек. Все это довольно приятно, пока кто-нибудь не спросит, чем я занимаюсь. Если смотреть на то, как меняются лица собеседников во время моего ответа, можно подумать, что я говорю: «Я член мафии», или «Я коррумпированный судья», или «Я путешественник во времени, которого послали предотвратить апокалипсис, для чего надо убить всех присутствующих на этой вечеринке».

В действительности я отвечаю: «Я учитель математики».

Понятно, мы с коллегами не всегда воздаем должное красоте нашего предмета. Я говорю слово «круг», и немногие студенты вспоминают стихи Джона Донна: «Но если ты всегда тверда / Там, в центре, то должна вернуть / Меня с моих кругов туда, / Откуда я пустился в путь»[29] – или представление Паскаля об устройстве Вселенной: «Вселенная – это не имеющая границ сфера, центр ее всюду, окружность – нигде»[30]. Нет, в голову приходят наполовину заученные формулы. Задачи из учебника. Бесконечные цифры после запятой в числе π.

Я чувствую себя обязанным защитить честь своего предмета, доказать, что он принадлежит к перекрывающим друг друга кругам Эйлера. Поэтому я делаю то, что сделал бы любой на моем месте: со скоростью голодного зверя хватаю порцию еды со стола с закусками.

– Какова площадь этого куска огурца? – требую я ответа.

Тот, кто бросил мне вызов, хмурится:

– Это странный вопрос.

– Вы правы! – кричу я. – Это странный вопрос, потому что площадь определяется с помощью крошечных квадратиков – квадратных дюймов, или квадратных сантиметров, или даже квадратных миллиметров, – а этот круглый ломтик огурца не может быть разделен на квадратики. Из-за закругленных краев его площадь трудно измерить. Поэтому… что же нам делать?

В этот момент я вооружаюсь ножом. Возможно, мой собеседник пугается, но, если мне повезет, он увидит, что я имею в виду.

– А! – восклицает он. – Мы можем порезать его на кусочки!

И мы режем несчастный огурец, как крошечный пирог, так, чтобы получилось восемь маленьких ломтиков. Расположив их иначе, мы получаем фигуру другой формы, но имеющую ту же площадь, что и первоначальный кусок огурца.