Величайшие математические задачи - Йен Стюарт

За этой связью стоит одно полезное свойство кривизны: от нее очень сложно избавиться. Это похоже на кошку под ковром. Если ковер лежит на полу ровно, кошки под ним нет, но, если вы видите на ковре горб, значит, под ним кошка. Вы можете гонять эту кошку по всему ковру, но горб будет просто перемещаться с одного места на другое. Так же и кривизну можно сдвинуть, но невозможно убрать. Разве что кошка доберется до края ковра и выскочит наружу, унося кривизну с собой. Правила разрядки Хееша немного напоминают замаскированную кривизну. Они позволяют гонять электрический заряд с места на место, но не ликвидируют его. Не может ли существовать некое понятие кривизны для сети и хитрое правило разрядки, позволяющее, по существу, гонять по нему эту кривизну?

Если так, то нельзя исключить вариант, при котором вам удастся уговорить сеть раскраситься самостоятельно. Присвоить точкам (а может быть, и линиям тоже) кривизну, а затем позволить сети перераспределить ее более равномерно. Возможно, если мы все правильно подготовим, то «равномерность» будет означать как раз достаточность четырех красок. Это всего лишь идея, причем не моя, и я объяснил ее недостаточно подробно, чтобы что-нибудь понять. Но эта идея порождена интуицией какого-то математика и вселяет надежду на то, что в будущем, возможно, будет найдено более концептуальное доказательство теоремы о четырех красках — это будет потрясающая повесть, а не краткий пересказ с приложением в виде миллиарда телефонных справочников. В главе 10 мы столкнемся с аналогичной идеей в гораздо более хитроумном контексте, где она помогла решить еще более великую топологическую задачу.

Все началось со снежинки.

Снег обладает странной красотой. Он падает с небес пушистыми белыми хлопьями; он летит по ветру и образует мягкие холмы и гребни, покрывающие все вокруг; он сам по себе обретает неземные странные формы. Он холодный. По нему можно кататься на лыжах, на санках, можно лепить из него снежки и снеговиков… А если не повезет, можно оказаться погребенным под тысячетонной снежной лавиной. Исчезая, он не возвращается на небо — по крайней мере непосредственно в виде белых хлопьев. Он превращается в обычную воду, которая, конечно, может испариться и вернуться на небо, но может и течь ручьями и реками вниз, к морю, а потом долго-долго обитать в океане. Снег — форма льда, а лед — это замороженная вода.

Все сказанное не ново. Вероятно, это знали еще неандертальцы.

Снежинки ни в коем случае нельзя назвать бесформенными комками. В первозданном виде (до того, как начинается процесс таяния) многие из них представляют собой крохотные затейливые звездочки — плоские, шестигранные и симметричные. Есть и просто шестиугольники. Некоторые снежинки не настолько симметричны, некоторые отличаются заметной толщиной (т. е. имеют третье измерение), но снежинки с шестилучевой симметрией очень типичны и встречаются часто. Снежинки — кристаллы льда. Это тоже не новость, ведь невозможно, увидев кристалл, не узнать его. Но снежинки — не обычные кристаллы с плоскими гранями в виде многоугольников. Самое загадочное свойство снежинок добавляет в картину легкий штрих хаоса: несмотря на одинаковую симметрию, точная структура каждой снежинки уникальна. Говорят, не существует двух одинаковых снежинок. Я часто недоумевал: откуда они могут это знать? Но если достаточно педантично разобраться в том, что считать одинаковым, то выяснится, что цифры говорят в пользу такой позиции.

Почему для снежинок характерна шестилучевая симметрия? Этим вопросом 400 лет назад задался один из великих математиков и астрономов XVII в. — и после некоторых размышлений нашел на него ответ. Поразительно верный ответ, тем более что ученый при этом не проводил никаких особых экспериментов. Он просто свел воедино несколько простых общеизвестных мыслей. К примеру, о том, как располагаются зернышки в гранате.

Этого человека звали Иоганн Кеплер, и у него был очень хороший повод задуматься о снежинках. Жизнь и работа ученого в те времена часто зависели от богатого покровителя, и для Кеплера таковым был Иоганн Вакер фон Вакенфельс. В то время Кеплер служил придворным математиком императора Священной Римской империи Рудольфа II, а Вакер, дипломат, был советником императора. Кеплер хотел сделать своему покровителю новогодний подарок. В идеале он должен был быть недорогим, необычным и занимательным — и приоткрыть перед Вакером дверь в мир замечательных открытий, которые стали возможны благодаря его деньгам. Так что Кеплер собрал свои мысли о снежинках в небольшую книгу, которая и должна была стать подарком. Называлась она «О шестиугольных снежинках» (De Nive Sexangula). Шел 1611 г. В этой книге содержалось короткое замечание (один из основных шагов в рассуждениях Кеплера), и сформулированную в нем математическую загадку никому не удавалось решить на протяжении 387 лет.

Кеплер имел огромный опыт поиска закономерностей. Его важнейшая научная работа — открытие трех фундаментальных законов движения планет. Первый и самый известный из них гласит, что орбиты планет представляют собой эллипсы. Кроме того, Кеплер был мистиком и приверженцем учения пифагорейцев о том, что Вселенная основана на числах, закономерностях и математических формах. Помимо астрономии, он занимался астрологией: математики в те времена нередко выдавали себя за астрологов, поскольку обладали необходимой квалификацией и могли рассчитать, когда асцендент находится в Водолее. Богатые покровители и короли заказывали им составление гороскопов.

В своей книге Кеплер указал, что снег возникает из водяного пара, который сам по себе не имеет формы, но каким-то образом превращается в твердые снежинки с шестилучевой симметрией. Для такого перехода должна быть какая-то причина, считал Кеплер:

«Позволительно спросить, каково это действующее начало, как оно действует, является ли форма искони присущей телу или приобретается под влиянием внешних воздействий, принимает ли материал шестиугольную форму в силу необходимости или по своей природе и что следует считать врожденным: воплощенный в шестиугольном архетип красоты или знание цели, к которой приводит эта форма?»

В поисках ответа на этот вопрос Кеплер рассматривает другие примеры шестиугольных форм в природе. В первую очередь на ум приходят пчелиные соты. Они формируются из двух слоев шестиугольных ячеек, составленных «впритык», так что общие их концы образуют три ромба, т. е. параллелограммы, у которых все четыре стороны одинаковы. Такая форма напомнила Кеплеру о теле, известном как ромбический додекаэдр (см. рис. 15). Это тело не входит в перечень пяти правильных тел, известных пифагорейцам (их систематизировал Евклид), но обладает интересным отличительным свойством: одинаковыми ромбическими додекаэдрами можно полностью, без зазоров заполнить пространство. Эта же форма возникает внутри граната, где маленькие округлые зернышки растут в тесноте и потому вынуждены «изобретать» эффективную упаковку.

Как всякий разумный математик, Кеплер начинает с простейшего случая, при котором сферы (шарики) образуют единственный плоский слой. По существу, это то же самое, что упаковывать одинаковые кружочки на плоскости. Он находит всего две правильные конфигурации. В одной круги укладываются в квадраты (см. рис. 16 слева); в другой — в равносторонние треугольники (см. рис. 16 справа). Эти конфигурации, повторяемые на бесконечной плоскости, образуют квадратную решетку и треугольную решетку. Слово «решетка» говорит об их пространственной периодичности, повторяющейся в двух независимых направлениях. На рисунке по объективным причинам показаны лишь конечные участки решетки, поэтому на края не нужно обращать внимания. То же можно сказать про размещенные ниже рис. 17–20. На рис. 16 слева и справа показано по пять рядов кругов, и в каждом ряду они соприкасаются с соседями. Однако треугольная решетка немного сплюснута, и ее ряды располагаются ближе друг к другу. Так что круги в треугольной решетке упакованы плотнее, чем в квадратной.