Величайшие математические задачи - Йен Стюарт

Далее Кеплер задается вопросом, как такие слои можно уложить один на другой, и рассматривает четыре случая. В первых двух все слои уложены по квадратной решетке. При укладывании в стопку шарики каждого ряда можно поместить точно над шариками нижнего ряда. Тогда у каждого шарика будет по шесть непосредственных соседей: четыре в своем слое, один сверху и один снизу. Такая упаковка похожа на трехмерную шахматную доску, сделанную из кубиков; в нее она, кстати, и превратится, если надуть шарики так, чтобы дальше расширяться им было уже некуда. Но это, говорит Кеплер, «не самая плотная упаковка». Ее можно сделать еще плотнее, если сдвинуть верхний слой по диагонали так, чтобы его шарики точно легли во впадины между шариками нижнего слоя (см. рис. 17 слева). Повторим этот процесс для всех слоев (см. рис. 17 справа). Теперь у каждого шарика по 12 соседей: четыре в своем слое, четыре вверху и четыре внизу. Если их надуть, пространство заполнится ромбическими додекаэдрами.

В двух других случаях слои складываются по гексагональной решетке. Если при складывании в стопку поставить шарик над шариком, у каждого шарика будет по восемь соседей: шесть в своем слое, один вверху и один внизу. Опять же шарики верхнего слоя можно поставить над промежутками в нижнем. Тогда у каждого из них будет по 12 соседей: шесть в собственном слое, три вверху и три внизу. Количество соседей такое же, как во втором варианте упаковки квадратных слоев, и Кеплер, проведя тщательный геометрический анализ, показывает, что в реальности этот вариант упаковки полностью совпадает со вторым. Единственная разница заключается в том, что квадратные слои лежат не горизонтально, а под углом. Кеплер пишет: «Таким образом, самая плотная трехмерная упаковка с треугольной решеткой не может существовать без квадратной решетки, и наоборот». К этому я еще вернусь: это важно.

Разобравшись с базовой геометрией упаковки шариков, Кеплер возвращается к снежинке с ее шестилучевой симметрией. Шестигранник напоминает ему о треугольной решетке упаковки шариков на плоскости, в которой каждый шарик соседствует с шестью другими, образуя идеальный шестиугольник. В этом, делает вывод Кеплер, должно быть, и заключается причина шестиконечности снежинок.

Эта глава посвящена, строго говоря, не снежинкам, но данное Кеплером объяснение их симметричности очень похоже на то, что предложили бы сегодня мы, так что стыдно было бы остановиться на этом. Почему они такие разные, но при этом все симметричны? Когда вода кристаллизуется, образуя лед, атомы водорода и кислорода, из которых состоят молекулы воды, укладываются в симметричную структуру — кристаллическую решетку. Эта решетка сложнее любой кеплеровой конструкции из шариков, но строится тоже на основе шестилучевой симметрии. Снежинка растет от крохотного «зернышка» всего из нескольких атомов, организованных в виде маленького кусочка решетки. Это зернышко тоже обладает шестилучевой симметрией; именно оно подготавливает сцену для роста ледяного кристалла в грозовой туче, где ветер бросает миллионы этих кристаллов из стороны в сторону.

Великое разнообразие узоров в снежинках — следствие меняющихся внешних условий. В зависимости от температуры и влажности рост кристалла может идти равномерно по всей границе, и тогда атомы с любой стороны добавляются с одной и той же частотой, и получаются простые шестиугольники. Но рост может идти с разной скоростью в разных местах, и тогда получается древовидная структура. Растущая снежинка путешествует по грозовой туче то вверх, то вниз, и условия вокруг постоянно меняются, причем случайным образом. Но сама снежинка настолько мала, что условия во всех шести ее углах в любой момент времени практически одинаковы. Поэтому все шесть лучей делают одно и то же. Каждая снежинка несет на себе отпечаток своей истории. На практике шестилучевая симметрия никогда не бывает строгой, но часто очень близка к идеалу. Лед — загадочное вещество, поэтому возможны и другие формы — пики, плоские круги, шестигранные призмы, призмы с плоскими концами. Полное описание происходящего вышло бы очень сложным, но определяющим фактором является то, как располагаются атомы в кристаллах льда. Во времена Кеплера атомная теория сводилась в лучшем случае к неопределенным предположениям древних греков. Поразительно, как далеко он сумел зайти в своих выводах, опираясь только на народные наблюдения, мысленные эксперименты и собственную интуицию.

Гипотеза Кеплера не имеет отношения к снежинкам как таковым. Все дело в небрежном замечании о том, что укладка слоев из плотно упакованных шариков, при которой шарики верхнего слоя ложатся во впадины между шариками нижнего, дает «самую плотную возможную упаковку в трех измерениях». Неформально эту гипотезу можно сформулировать так: если вы хотите упаковать много апельсинов в большой ящик, заполнив его при этом как можно плотнее, то укладывать плоды нужно так, как это делает любой торговец фруктами.

Трудность здесь не в том, чтобы найти ответ. Кеплер нам все рассказал. Трудность в том, чтобы доказать, что он был прав. За прошедшие столетия ученые собрали немало косвенных тому свидетельств. Никто не смог предложить более плотную упаковку. Именно такое расположение атомов часто встречается в кристаллах, где, как считается, плотность оптимальна для минимизации затрат энергии — это стандартный принцип, по которому созданы многие природные формы. Этого оказалось достаточно, чтобы убедить большинство физиков. И никто не смог доказать, что ничего лучшего не существует. В более простых вопросах такого рода, вроде упаковки кругов на плоскости, обнаружились скрытые глубины. Надо сказать, весь этот раздел математики сложен и полон неожиданностей. Все это тревожило математиков, хотя большинство из них тоже считали, что Кеплер дал верный ответ. В 1958 г. Амброз Роджерс описал гипотезу Кеплера как то, «во что многие математики верят, а все физики знают и так». В этой главе рассказывается, как математики обратили веру в точное знание.

Чтобы понять, что именно они сделали, нам придется как следует приглядеться к кеплеровой конструкции из шариков, известной как гранецентрированная кубическая решетка. Стоит сделать это, и начинают проявляться тонкости стоявшей перед математиками задачи. Первым на ум приходит вопрос: почему мы используем слои с квадратной решеткой? В конце концов, самой плотной упаковкой на плоскости (т. е. для одного слоя) является треугольная решетка. Дело в том, что гранецентрированную кубическую решетку можно получить и из слоев с треугольной укладкой шариков; именно в этом суть замечания Кеплера о том, что «треугольная схема укладки не может существовать без квадратной». Однако гранецентрированную кубическую решетку, сложенную из квадратных слоев, проще описывать. Кроме того, так мы убедимся, что гипотеза Кеплера не столь прямолинейна, как укладка апельсинов в ящики.

Предположим, что мы начинаем с плоского слоя шариков, уложенных треугольниками (см. рис. 16 справа). Между шариками имеются скругленные треугольные выемки, в которые могут лечь шарики следующего слоя. Когда мы начинали с квадратного слоя, мы могли использовать все выемки без исключения, и положение второго и последующих слоев определялось однозначно. С треугольными слоями не так. Мы не можем использовать все выемки, поскольку они располагаются слишком близко друг к другу. Мы можем использовать только половину. Один из вариантов укладки показан на рис. 18 слева при помощи небольших серых точек для наглядности, а рис. 18 справа демонстрирует, как следует расположить следующий слой шариков. Другой способ уложить новый слой в выемки предыдущего показан на рис. 19 слева темными точками. Эти точки совпадают с выемками второго слоя, так что мы добавляем третий слой в соответствующем положении. Результат показан на рис. 19 справа.