Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной - Стивен Строгац

Но в остальном они дополняли друг друга. Особенно это проявлялось в научных открытиях: Галилей занимался законами движения на Земле, а Кеплер – в Солнечной системе. Однако взаимодополняемость проникает еще глубже, вплоть до научного стиля и склонностей. Галилей был рациональным человеком, Кеплер – мистиком.

Галилей был интеллектуальным потомком Архимеда, очарованным механикой. В своей первой публикации он правдоподобно изложил легенду «Эврика!», показав, как Архимед с помощью ванны и весов смог определить, что корона правителя Гиерона сделана не из чистого золота, и вычислить точное количество серебра, которое подмешал в нее вороватый ювелир. Галилей продолжал развивать работы Архимеда на протяжении всей жизни, часто расширяя его механику – от равновесия к движению.

Кеплер же был скорее наследником Пифагора. Обладая неистовым воображением и нумерологическим складом ума, он повсюду видел закономерности. Он первым объяснил, почему снежинки имеют форму шестиугольника. Он размышлял о наиболее эффективном способе укладки пушечных ядер и предположил (правильно), что оптимальная упаковка такая же, как природа использует для упаковки зерен граната, а бакалейщики – для укладки апельсинов. Одержимость Кеплера геометрией – небесной и земной – граничила с иррациональностью. Но этот пыл сделал его тем, кем он был. Писатель Артур Кестлер проницательно заметил: «Иоганн Кеплер был восхищен пифагорейской мечтой, и на этом фундаменте из фантазии с помощью таких же ненадежных рассуждений он построил прочное здание современной астрономии. Это один из самых впечатляющих эпизодов в истории мысли и противоядие от добродетельной веры, что прогрессом науки управляет логика»[143].

Грозовые тучи сгущаются

Как и все великие открытия, законы движения планет в небесах Кеплера и законы движения падающих тел на Земле Галилея вызвали больше вопросов, чем дали ответов. С научной точки зрения естественно было спросить о первопричинах. Откуда взялись эти законы? Лежала ли в их основе какая-то еще более глубокая истина? Например, казалось явно не случайным, что Солнце занимает такое особое место во всех планетных эллипсах – в одном из фокусов. Означает ли это, что Солнце каким-то образом влияет на планеты? Воздействует ли оно на них какой-то оккультной силой? Именно так думал Кеплер. Он задавался вопросом, не могут ли влиять на планеты какие-то магнитные явления, которые недавно изучал английский ученый Уильям Гильберт. Что бы это ни было, казалось, какая-то неведомая невидимая сила действовала на огромных расстояниях через пустоту пространства.

Работы Кеплера и Галилея поднимали и математические проблемы. В частности, кривые снова оказались в центре внимания. Галилей показал, что траектория брошенного тела – парабола, а круги Аристотеля уступили место эллипсам Кеплера. Другие научные и технологические достижения начала 1600-х только повысили интерес к кривым. В оптике форма изогнутой линзы определяет, насколько изображение увеличено, растянуто или размыто. Эти соображения крайне важны при конструировании телескопов и микроскопов – новейших приборов, которые революционизировали астрономию и биологию соответственно. Французский ученый Рене Декарт задался вопросом, можно ли сделать линзу с совершенно резким изображением. Вопрос сводился к следующей задаче: какую форму должна иметь линза, чтобы все лучи света, исходящие из одной точки или идущие параллельно друг другу, гарантированно сходились бы в другой точке после прохождения через стекло?

Кривые, в свою очередь, поднимали вопросы о движении. Второй закон Кеплера подразумевал, что планеты двигаются по своим эллипсам неравномерно – то ускоряясь, то замедляясь. Точно так же брошенные снаряды Галилея двигались с переменной скоростью по своим параболическим дугам. Они замедлялись при подъеме, замирали в верхней точке, а затем падали обратно на землю. То же самое было справедливо и для маятников. Они замедлялись по мере приближения к концу дуги и ускорялись по мере стремления к нижней точке, а затем снова снижали скорость у другого конца траектории. Как можно количественно характеризовать движение, у которого скорость каждый миг меняется?

И вот среди этого водоворота вопросов появился новый путь для европейских математиков: приток идей от исламских и индийских математиков предоставил им реальный шанс выйти за рамки методов Архимеда и открыть новые горизонты. Идеи с Востока обеспечили новые подходы к кривым и движению, а затем – внезапно – к дифференциальному исчислению.

С современной точки зрения у анализа есть две стороны. Дифференциальное исчисление разбивает сложные задачи на бесконечное число более простых частей, а интегральное исчисление складывает их обратно, чтобы решить исходную задачу.

Если учесть, что разбиение естественным образом идет до обратного воссоздания, то новичкам кажется разумнее начинать с дифференциального исчисления. И действительно, именно так сегодня начинаются все курсы анализа. Они начинаются с производных – относительно простых методов нарезания и измельчения, а затем уже переходят к интегралам – гораздо более сложным методам сборки частей в единое целое. Студенты считают такой порядок изучения анализа более удобным, потому что сначала идет более легкий материал. Преподавателям он нравится, потому что при этом предмет кажется более логичным.

Но, как ни странно, история разворачивалась в обратном порядке. В работах Архимеда примерно в 250 году до нашей эры интегралы уже использовались фактически вовсю, в то время как производных никто не видел до 1600-х. Почему дифференциальное исчисление – более простая сторона предмета – появилось настолько позже интегрального? Причина в том, что оно выросло из алгебры, а алгебре потребовались столетия, чтобы вызреть, мигрировать и видоизмениться. В своей исходной форме в Китае, Индии и исламском мире[144] алгебра была полностью вербальной. Неизвестные были словами, а не нынешними x и y. Уравнения – длинными предложениями, а задачи – целыми абзацами. Однако после того как около 1200 года алгебра появилась в Европе, она превратилась в искусство символов. Это сделало ее более абстрактной… и более мощной. Эта новая порода, символьная алгебра, затем соединилась с геометрией и породила еще более крепкий гибрид – аналитическую геометрию, которая, в свою очередь, породила целый зоопарк кривых, изучение которых и привело к дифференциальному исчислению. В данной главе мы рассмотрим, как это происходило.

Расцвет алгебры на Востоке

Упоминание Китая, Индии и исламского мира должно изменить впечатление, возможно, сложившееся к этому моменту, что создание анализа было делом европейцев. Хотя анализ действительно расцвел в Европе, его истоки лежат в другом месте. В частности, алгебра пришла из Азии и Ближнего Востока. Это слово происходит от арабского «аль-джебр», что означает «восполнение», или «восстановление». Подразумевается операция, применяемая при решении уравнений, когда число переносится из одной части в другую, меняя знак – становясь из отрицательного положительным («восстанавливаясь»)[145]. Точно так же и геометрия, как мы видели, зародилась в Египте; считается, что отец греческой геометрии Фалес изучал ее именно там. И великая теорема Пифагора придумана не Пифагором: она была известна вавилонянам как минимум за тысячу лет до него, как свидетельствуют глиняные таблички из Междуречья, датируемые примерно 1800 годом до нашей эры. Нужно также иметь в виду, что, говоря о Древней Греции, мы подразумеваем огромную территорию, которая простиралась далеко за пределы Афин и Спарты. Она доходила до Египта на юге, до Италии и Сицилии на западе, включала средиземноморский берег Малой Азии, Ближний Восток, части Центральной Азии, Пакистана и Индии. Сам Пифагор был родом с острова Самос, расположенного у западного побережья Малой Азии (современная Турция). Архимед жил в Сиракузах – городе на юго-восточном побережье Сицилии. Евклид работал в Александрии – крупном портовом и научном центре в устье Нила в Египте.