Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной - Стивен Строгац

Второй закон Кеплера: равные площади за равное время

Кеплер обнаружил в имеющихся данных еще одну закономерность. Если первая касалась траектории планет, то эта – их скоростей. Сегодня она известна как второй закон Кеплера, который гласит: воображаемая линия, проведенная от Солнца к планете, заметает равные площади за равные промежутки времени, когда планета двигается по своей орбите.

Чтобы разъяснить смысл этого закона, предположим, что мы смотрим, где сегодня на своей эллиптической орбите находится Марс. Соедините эту точку с Солнцем прямой линией.

Теперь представьте эту линию как щетку дворника-стеклоочистителя, где Солнце находится в шарнире, а Марс – на кончике щетки (правда, стеклоочиститель двигается в обоих направлениях, а наш отрезок – всегда в одну сторону, причем очень-очень медленно). По мере перемещения Марса по своей орбите в последующие ночи наш отрезок-стеклоочиститель заметает внутри эллипса какую-то площадь. Если мы снова посмотрим на Марс через какое-то время (скажем, через три недели), то наш отрезок заметет фигуру, называемую сектором.

Кеплер обнаружил, что площадь «трехнедельного» сектора остается неизменной, где бы ни находился Марс на своей орбите. Если мы посмотрим на Марс в любых двух точках его орбиты, разделенных равными промежутками времени, то все получающиеся секторы всегда будут иметь одинаковые площади, независимо от их места нахождения на орбите.

Попросту говоря, второй закон утверждает, что планеты двигаются не с постоянной скоростью. Чем ближе они к Солнцу, тем быстрее перемещаются. Утверждение о заметании равных площадей за равные промежутки времени – способ сформулировать это точно.

Если время перехода из P1 в P2 равно времени перехода из P3 в P4, то получающиеся секторы имеют равные площади.

Как Кеплер измерил площадь эллиптического сектора, учитывая, что у него одна изогнутая сторона? Он поступил так же, как и Архимед – разрезал сектор на много тонких ломтиков и аппроксимировал их треугольниками. Затем вычислил их площадь (это просто, потому что у них прямые стороны) и сложил их, чтобы оценить площадь исходного сектора. По сути, он применил архимедову версию интегрального исчисления к реальным данным.

Третий закон Кеплера и священный экстаз

Законы, которые мы обсуждали до сих пор – каждая планета движется по эллипсу с фокусом в Солнце, а ее радиус заметает равные площади за равные промежутки времени, – относятся к каждой планете в отдельности. Кеплер открыл их оба в 1609 году. Но ему потребовалось еще десять лет, чтобы открыть третий, «коллективный» закон, связывающий всю Солнечную систему единой нумерологической закономерностью. Он стал результатом многих месяцев яростных вычислений и появился спустя двадцать лет после мучительного промаха с платоновыми телами. В своем предисловии к «Гармонии мира» (1619) Кеплер в экстатическом восторге писал, что наконец-то увидел план Бога: «Ныне, после того как 18 месяцев назад впервые забрезжил рассвет, после того как 3 месяца назад наступил ясный день и лишь несколько дней назад взошло яркое солнце чудеснейшего зрелища, ничто не может остановить меня. Я отдаюсь священному экстазу. Не боясь насмешек смертных, я исповедуюсь открыто»[141].

Числовой закономерностью, так очаровавшей Кеплера, стало открытие, что квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу ее среднего расстояния от Солнца. Иными словами, отношение T2 / a3 одинаково для всех планет. Здесь T – это время оборота планеты вокруг Солнца (1 год для Земли, 1,9 года для Марса, 11,9 лет для Юпитера и так далее), а буквой a обозначено среднее расстояние планеты от Солнца. Его определить несколько сложнее, потому что реальное расстояние до планеты меняется в силу того, что орбита эллиптична: иногда она ближе к Солнцу, а иногда дальше. Чтобы учесть это, Кеплер определил a как среднее значение самого малого и самого большого расстояния.

Суть третьего закона проста: чем дальше планета от Солнца, тем медленнее она движется и тем больше время ее оборота. Однако интересно то, что период обращения не пропорционален просто расстоянию. Например, период обращения нашей ближайшей соседки Венеры равен 61,5 % от нашего года, но среднее расстояние от Солнца у нее – 72,3 % от земного, а не 61,5 %, как можно было бы наивно полагать. А все потому, что период в квадрате пропорционален расстоянию в кубе (а не в квадрате), поэтому зависимость между периодом и расстоянием сложнее, чем прямая пропорциональность.

Если T и a выразить в виде процентной доли от земного периода и земного расстояния, как мы сделали выше, то третий закон Кеплера упрощается до формулы: T2 = a3. Прямой пропорциональности нет. Чтобы посмотреть, насколько хорошо он работает, подставим параметры Венеры: T2 = (0,615)2 ≈ 0,378, в то время как a3 = (0,723)3 ≈ 0,378. Точность – три значащие цифры. Вот почему Кеплер был так взволнован. Не менее впечатляющи результаты и для остальных планет.

Кеплер и Галилей, сходство и различия

Кеплер и Галилей никогда не встречались, но они переписывались, обсуждали свои коперниканские взгляды и открытия, сделанные в астрономии. Когда некоторые люди отказывались смотреть в телескоп Галилея, опасаясь, что это инструмент дьявола, ученый написал Кеплеру: «Мой дорогой Кеплер, хотел бы я, чтобы мы посмеялись над необычайной глупостью толпы. Что бы вы сказали о выдающихся философах этого университета, которые со ослиным упорством, несмотря на мои тысячекратные приглашения, отказывались смотреть на планеты или на Луну в мой телескоп?»[142]

В чем-то Кеплер и Галилей были похожи. Оба интересовались движением. Оба работали в области интегрального исчисления: Кеплер – над объемами криволинейных тел (например, винных бочек), Галилей – над центрами тяжести параболоидов. При этом они следовали духу Архимеда, разрезая в уме твердые тела на множество тоненьких слоев, похожих на ломтики салями.