Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной - Стивен Строгац

Через год после приезда в Грац Кеплер решил, что ему открылась тайна космоса. Во время урока к нему внезапно пришло видение, как должны располагаться планеты вокруг Солнца. Идея заключалась в том, что планеты переносятся небесными сферами, вложенными друг в друга подобно матрешкам, а расстояния между ними определяются пятью платоновыми телами: куб, тетраэдр, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Платон знал, а Евклид доказал, что других правильных многогранников не существует. Кеплеру их уникальность и симметрия казались вполне пригодными для вечности.

Он лихорадочно производил расчеты. «День и ночь я был поглощен вычислениями, чтобы увидеть, согласуется ли эта идея с орбитами Коперника, или мою радость развеет ветер. За несколько дней все заработало, и я наблюдал, как одно тело за другим точно занимало свое место между планетами»[137].

Он описал октаэдр вокруг сферы Меркурия, а через его вершины провел сферу Венеры, вокруг которой затем описал икосаэдр, а через его вершины прошла сфера Земли, и так он поступил со всеми планетами, сцепляя сферы и платоновы тела подобно трехмерной головоломке. Он изобразил получившуюся систему в разрезе на рисунке в своей книге «Тайна мироздания», вышедшей в 1596 году.

Его прозрение многое объясняло. Поскольку было всего пять платоновых тел и только шесть планет (включая Землю), это означало пять промежутков между ними. Все имело смысл. Геометрия управляла космосом. Он хотел стать теологом и теперь мог с удовлетворением написать одному из наставников: «Смотрите, как Бог прославляется моими усилиями в астрономии»[138].

На самом деле эта теория не совсем соответствовала имеющимся фактам, особенно в отношении положения Меркурия и Юпитера. Это несоответствие означало, что что-то было не так, но что? Неверна теория, данные или и то и другое? Астроном подозревал, что неверными могут быть данные, но не настаивал на правильности своих теоретических построений (что было мудро, как мы теперь знаем, поскольку теория Кеплера не имела шансов на успех, ведь планет больше шести).

Тем не менее он не сдавался и продолжал размышлять о планетах, а вскоре добился успеха, когда Тихо Браге пригласил его в помощники. Тихо (как его всегда именовали историки) был лучшим астрономом-наблюдателем в мире. Его данные были на порядок точнее всех полученных ранее. Еще до появления телескопов он создал специальные инструменты, которые позволяли ему невооруженным глазом разрешать угловые положения планет с точностью до двух угловых минут, то есть до тридцатой доли градуса.

Чтобы понять, насколько мал этот угол, представьте себе полную Луну в ясную ночь и вытяните перед лицом мизинец. Его ширина – около 60 угловых минут, а Луна – примерно вдвое меньше. Поэтому, когда мы говорим, что Тихо Браге использовал разрешение в две минуты дуги, это означает, что если вы по всей ширине мизинца на равных расстояниях нарисуете 30 точек (или 15 точек поперек Луны), то Тихо сможет отличить эти точки между собой.

После смерти Тихо Браге в 1601 году Кеплер унаследовал его данные о Марсе и других планетах. Чтобы объяснять их движение, он пробовал одну теорию за другой, заставляя планеты двигаться то по эпициклам, то по яйцевидным кривым, то по кругам, где Солнце находилось не в центре. Но все эти модели давали расхождение с данными Тихо, что нельзя было игнорировать. «Дорогой читатель, – сокрушался Кеплер после одного такого вычисления, – если ты устал от столь утомительной процедуры, пожалей меня, ибо я проделал ее как минимум 70 раз»[139].

Первый закон Кеплера: эллиптические орбиты

В поисках объяснения движения планет Кеплер в конце концов попробовал хорошо известную кривую – эллипс. Как и парабола, эллипс изучался учеными античности. Из главы 2 мы узнали, что древнегреческие геометры определяли эллипс как овалоподобную кривую, образованную при сечении конуса наклонной плоскостью, угол наклона которой меньше, чем у образующей конуса[140]. Если плоскость почти горизонтальна, то эллипс в сечении будет почти кругом; если же плоскость почти параллельна образующей, то эллипс будет сильно вытянутым и похожим на сигару. Если вы начнете менять наклон плоскости, эллипс будет принимать вид от округлого до сильно сжатого.

Есть еще один простой способ начертить эллипс – с помощью нескольких обычных предметов.

Возьмите карандаш, пробковую доску, лист бумаги, две кнопки и кусок нитки. Положите бумагу на доску. Прикрепите кнопками к бумаге концы нитки так, чтобы она немного провисала. Затем натяните нить кончиком карандаша и начните рисовать кривую, удерживая при этом нить натянутой. Когда карандаш обойдет вокруг обеих кнопок и вернется в исходную точку, получившаяся кривая и будет эллипсом.

Особую роль тут играет положение кнопок. Кеплер назвал их фокусами (или фокальными точками) эллипса. Они настолько же важны для эллипса, как центр для окружности. Окружность определяется как множество точек, расстояние от которых до данной точки (центра) – постоянная величина. Аналогично эллипс – это множество точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) – постоянная величина. В нашей конструкции из нитки и двух кнопок эта постоянная сумма двух расстояний в точности равна длине натянутой нити.

Первое величайшее открытие Кеплера – и на этот раз он не ошибся и не нуждался в пересмотре своих идей – состояло в том, что все планеты двигаются по эллиптическим орбитам. Не окружность и не окружность в сочетании с круглыми эпициклами, как считали Аристотель, Птолемей, Коперник и даже Галилей. Нет. Эллипсы. Более того, он обнаружил, что Солнце находится в одном из фокусов эллиптической орбиты для всех планет.

Это было поразительно, именно на такую божественную подсказку Кеплер и надеялся. Планеты двигались в соответствии с геометрией. Пусть это и не геометрия пяти платоновых тел, как он предполагал изначально, но тем не менее его инстинктивные догадки были правильными. Геометрия действительно управляла небесами.