Геометрия скорби. Размышления о математике, об утрате близких и о жизни - Майкл Фрейм

Лучше я дам свое толкование, опирающееся на разработанные нами здесь методики. Дэнни увлекался музыкой, значит, надо спроецировать утрату в пространство, включающее в себя его любовь к музыке. Музыка будет жить, стало быть, и влияние Дэнни, и его знания получат свой отклик. Эта утрата, которая всегда будет стоять перед глазами его родных, станет напоминать им подробности его жизни. У них больше не будет опыта общения с ним, но воспоминания о нем можно рассматривать с разных сторон и осознавать всё время по-новому. Если спроецировать память о Дэнни в пространство его поступков и интересов, эти воспоминания заиграют новыми красками. Но давайте посмотрим шире. К чему Дэнни стремился? Можем ли мы помочь людям, не знавшим его, почувствовать стремления Дэнни? Прекрасный и волнующий ответ, от которого перехватывает дыхание: да.

Смерть закрывает дверь к дальнейшему общению с теми, кого мы безвозвратно потеряли. Но скорбь открывает дверь – пусть даже крохотную щелочку – к тому, чтобы пересмотреть воспоминания и по-новому увидеть свои поступки. Давайте подумаем, какого поступка хотел бы от нас ушедший человек? За примерами далеко ходить не надо: «Вместо цветов семья просит сделать пожертвование туда-то». И это прекрасно, это замечательно. Дело, которым дорожил покойный, получает поддержку в память о нем. Он как будто всё еще с нами.

А некоторым людям скорбь распахивает двери храма и дарит возможность вернуться в мир и творить изумительное добро.

Появилась ли скорбь в процессе эволюции? Взглянем уровнем выше, с точки зрения эволюции общества: скорбь побуждает к поступкам, которые помогают многим людям.

Быть может, это лучший ответ на нашу боль: скорбь дает нам средство, чтобы сделать смелый шаг вперед.

Приложение: добавим математики

Заглянем под капот.

Здесь мы восполним некоторые детали, которые ранее не требовались, если в каких-то вопросах вы готовы были поверить мне на слово. Чтобы следить за моими рассуждениями, достаточно некоторого знакомства с математикой, по большей части с алгеброй из средней школы.

СКОЛЬКО КУБОВ ОГРАНИЧИВАЮТ ГИПЕРКУБ?

Единичный квадрат S на координатной плоскости xy состоит из всех точек (x, y), для которых 0 ≤ x ≤ 1 и 0 ≤ y ≤ 1. Чтобы найти все части границы квадрата S, зафиксируем одну из координат в своем крайнем значении 0 или 1, а вторая координата пусть изменяется в пределах интервала [0,1]. Таким образом, граница квадрата состоит из четырех ребер, каждое из которых является отрезком прямой.

(левое ребро) (правое ребро) (нижнее ребро) (верхнее ребро)

левое ребро x = 0, 0 ≤ y ≤ 1

правое ребро x = 1, 0 ≤ y ≤ 1

нижнее ребро y = 0, 0 ≤ x ≤ 1

верхнее ребро y = 1, 0 ≤ x ≤ 1

Единичный куб C в координатном пространстве xyz состоит из всех точек (x, y, z), для которых 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 и 0 ≤ z ≤ 1. Чтобы найти все части границы куба C, так же, как и в случае с квадратом, зафиксируем одну из координат в своем крайнем значении 0 или 1 и позволим оставшимся двум координатам изменяться на всем интервале [0,1]. Так мы видим, что граница куба состоит из шести граней, каждая из которых представляет собой квадрат.

левая грань x = 0, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1

правая грань x = 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1

нижняя грань y = 0, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1

верхняя грань y = 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1

передняя грань z = 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1

задняя грань z = 0, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1

Единичный гиперкуб H в координатном пространстве wxyz состоит из всех точек (w, x, y, z), для которых 0 ≤ w ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 и 0 ≤ z ≤ 1. Чтобы найти все части границы гиперкуба H, зафиксируем одну из координат в своем крайнем значении, а оставшиеся три координаты пусть изменяются в пределах интервала [0,1]. К примеру, один из граничных кубов задается условиями:

w = 0, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.

У каждой координаты есть два крайних значения, поэтому наличие четырех координат означает, что граница гиперкуба состоит из восьми кубов. Эти восемь кубов представлены на рисунке ниже. На двух верхних изображениях мы затеняем два «очевидных» куба. Назовем затененный куб слева нижним кубом, а затененный куб справа – верхним кубом.

Каждый из остальных шести затененных кубов соединяет одну из граней нижнего куба с соответствующей гранью верхнего куба.

Например, левый затененный куб во втором ряду соединяет верхнюю грань нижнего куба с верхней гранью верхнего куба.

Из скольких гиперкубов состоит граница пятимерного куба?

ПОЧЕМУ √2 – ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО?

Чтобы показать, что квадратный корень из 2 не является отношением двух целых чисел, мистер Гриффит рассуждал так. Предположим, что можно записать √2 в виде отношения целых чисел, скажем, √2 = a/b, и пусть эта дробь несократима (так, например, вместо 14/10 мы возьмем 7/5). Теперь возведем обе части в квадрат и получим 2 = a2/b2, откуда 2b2 = a2. Каким является число a2, четным или нечетным? Оно четное, поскольку равно удвоенному числу b2. Тогда каким является само число a, четным или нечетным? Ну раз квадрат четного числа всегда четен, а квадрат нечетного числа всегда нечетен, значит, число a должно быть четным. Это означает, что a = 2c для некоторого целого числа c. Теперь вернемся к равенству 2b2 = a2. Видите, в чем проблема? Хм, 2b2 = a2 = (2c)2 = 4c2. Теперь поделим эти равенства на 2. Что мы видим? Оказывается, b2 = 2c2, откуда b2 – четное число, значит, и b – четное число, но в этом-то и проблема, что оба числа a и b – четные, а мы взяли несократимую дробь a/b. Ха, как здорово.

О ФРАКТАЛАХ МЕЛКИМ ШРИФТОМ

Когда мы говорим, что треугольник Серпинского – единственная фигура, не изменяемая при применении к ней правил треугольника, надо проявить некоторую осторожность. Треугольник Серпинского не является единственной такой фигурой. Например, если применить три правила треугольника ко всей плоскости, то в результате мы снова получим всю плоскость. Зато можно утверждать, что треугольник Серпинского – единственная замкнутая и ограниченная фигура, которая не изменяется при применении