Тайны чисел. Математическая одиссея - Маркус Дю Сотой

Чтобы выиграть в игру «Ним», нужно перевести число батончиков в каждой кучке в двоичный вид. Тогда получится, что в первой кучке 101 батончик, во второй 100, а в третьей 11. Записывая последнее число как 011 и располагая эти числа в трех строках поверх друг друга, мы приходим к

Заметьте, что в первом столбце содержится четное число единиц, во втором нечетное и в третьем четное. Выигрышная стратегия заключается в том, чтобы при каждом ходе убирать столько батончиков из одной из кучек, чтобы в каждом столбце получалось четное число единиц. Итак, в данном случае возьмите два батончика из третьей кучки, чтобы их число уменьшилось до 001.

Почему это поможет вам выиграть? Что же, каждый раз ваш соперник будет вынужден оставлять как минимум один столбец с нечетным числом 1. Вы последующим ходом возьмете столько батончиков, чтобы снова сделать число 1 во всех столбцах четным. Поскольку число батончиков постоянно уменьшается, в какой-то момент их не останется, так что в трех кучках будет 000, 000 и 000 батончиков. Кто сделает приводящий к этому ход? Ваш соперник всегда оставляет нечетное число 1 хотя бы в одной из кучек, поэтому этот ход сделаете вы. И оппоненту не останется ничего иного, как взять стручок перца.

Эта стратегия сработает независимо от числа батончиков в кучках. Вы даже можете увеличить количество кучек.

Умение взглянуть на проблему с разных сторон оказывается очень полезным, когда дело доходит до математики. Может оказаться так, что решение тяжелой головоломки неожиданно станет очевидным, если вы посмотрите на нее под другим углом. Искусство состоит в том, чтобы найти, как правильно рассматривать задачу. Иллюстрацией этому служит игра, обсуждаемая ниже. На первый взгляд довольно трудно следить за ее ходом, но если рассмотреть эту игру иначе, все становится довольно просто. Вы можете загрузить файл с веб-сайта «Тайн 4исел» и вырезать реквизит, необходимый для игры.

У каждого из участников есть пустое блюдо для торта, на которое помещается 15 кусков. Цель игры состоит в том, чтобы первым заполнить свое блюдо ровно тремя секторами из имеющихся девяти секторов разных размеров. Наименьший сектор содержит лишь один кусок, а наибольший – девять кусков. Соперники по очереди выбирают один из секторов.

Цель состоит в том, чтобы получить три числа от 1 до 9, которые в сумме дают 15, одновременно с этим нужно следить за тем, что делает ваш соперник, и расстроить его планы. Так, если ваш оппонент взял сектора с 3 и 8 кусками, необходимо не дать ему набрать 15, взяв сектор с 4 кусками. Если сектор, который вы присмотрели, уже был взят, требуется отыскать другой способ прийти к 15, используя взятые куски и остающиеся. Но заполнять блюдо нужно ровно тремя секторами – использование секторов с 9 и 6 кусками не будет считаться победой, как и заполнение блюда четырьмя секторами с 1, 2, 4 и 8 кусками.

Рис. 3.11. Подберите три сектора, чтобы заполнить ваше блюдо для торта, опередив при этом соперника

Вскоре после начала игры становится довольно трудно уследить за различными способами, которыми вы и ваш соперник можете заполнить блюда. Но игра становится значительно проще, когда вы поймете, что, по существу, играете в замаскированную классическую игру крестики-нолики. Вместо обычной сетки 3 × 3, на которую вы помещаете 0 и Х, стараясь расположить три в линию до вашего соперника, это состязание разыгрывается на магическом квадрате:

Таблица 3.03

Самый простой магический квадрат подразумевает размещение чисел от 1 до 9 на сетке 3 × 3 таким образом, что сумма чисел во всех столбцах, строках и на диагоналях равна 15. Это расположение представляет все возможные способы получить 15 сложением 3 различных чисел от 1 до 9. Если представить игру с кусками тортов как расстановку крестиков и ноликов на магическом квадрате, становится понятно, что победителем будет тот, кто первым расположит три в линию, ведь у него будут три числа, которые в сумме дают 15.

По легенде, первый магический квадрат появился в 2000 г. до н. э. Он был нанесен на спину черепахи, которая выползла из реки Ло в Китае. Река сильно разлилась, и император Ю повелел совершить несколько жертвоприношений, чтобы умилостивить речного бога. В ответ речной бог послал на сушу черепаху, расположение чисел на панцире которой должно было помочь императору контролировать реку. Когда это расположение было понято, китайские математики начали составлять все бо́льшие и бо́льшие квадраты с такими же свойствами. Полагалось, что эти квадраты обладают магической силой, и их стали часто использовать для предсказаний. Самым впечатляющим достижением китайских математиков был магический квадрат 9 × 9.

Имеются свидетельства о том, что эти квадраты были ввезены в Индию китайскими торговцами, которые имели дело не только с пряностями, но и с математическими идеями. То, как числа переставляются в этих квадратах, сильно резонировало с индуистскими верованиями о реинкарнации, и в Индии эти квадраты использовались в самых разнообразных целях: от составления парфюмерных рецептов до помощи при деторождении. Магические квадраты были также популярны в средневековой исламской культуре. Ее значительно более систематический подход к математике привел к нескольким изощренным способам составления магических квадратов, кульминацией чего стало открытие впечатляющего магического квадрата 15 × 15 в XIII столетии.

Одно из первых появлений магических квадратов в Европе засвидетельствовано на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия», где изображен квадрат 4 × 4.

Рис. 3.12. Магический квадрат Альбрехта Дюрера

Числа от 1 до 16 расположены в нем так, что их сумма по всем столбцам, строкам и диагоналям равна 34. Кроме того, сумма чисел в каждом из четырех квадрантов (квадратов 2 × 2, на которые может быть разбит больший квадрат) и в центральном квадрате 2 × 2 также равна 34. Дюрер даже расположил два числа посередине нижнего ряда, указывающих на год создания гравюры: 1514. А два крайних числа в нижнем ряду соответствуют инициалам художника.

Магические квадраты разного размера традиционно сопоставлялись с различными планетами Солнечной системы. Классический квадрат 3 × 3 соответствовал Сатурну, квадрат 4 × 4 в «Меланхолии» – Юпитеру, а самый большой квадрат 9 × 9 приписывался Луне. Было выдвинуто предположение, что использование Дюрером этого квадрата отражало его мистическое убеждение, что жизнерадостность Юпитера может противостоять тому чувству меланхолии, которым наполнена гравюра.