Тайны чисел. Математическая одиссея - Маркус Дю Сотой

Другой знаменитый магический квадрат можно найти у входа в пышно украшенный храм Святого Семейства (Temple Expiatori de la Sagrada Família), до сих пор не достроенную церковь в Барселоне, проект которой был разработан Антонио Гауди. Магическим числом этого квадрата размером 4 × 4 является 33, столько лет было Христу при его распятии. Этот квадрат не совсем удовлетворителен, в отличие от квадрата Дюрера, потому что числа 14 и 10 встречаются в нем два раза за счет 4 и 16.

Хотя магические квадраты скорее являются математическим курьезом, с ними связана задача, которую математики до сих пор не смогли решить. По существу, имеется один магический квадрат размером 3 × 3. (Выражение «по существу» означает, что квадрат, полученный в результате вращения первоначального квадрата или операции отражения, примененной к нему, не будет считаться другим.) В 1693 г. француз Бернар Френикль де Бесси перечислил все 880 возможных магических квадратов размером 4 × 4, а в 1973 г. Рихард Шрёппель использовал компьютерную программу и рассчитал число магических квадратов размером 5 × 5. Их оказалось 275 305 224. Помимо этого у нас имеются лишь оценки для числа магических квадратов размером 6 × 6 и более того. Математики все еще находятся в поисках формулы, которая дала бы точные числа.

Дух судоку можно найти в головоломке, выросшей из математического увлечения магическими квадратами. Возьмите фигурные карты (валетов, дам, королей и тузов) из стандартной колоды карт и расположите их на сетке 4 × 4 так, чтобы ни в одном ряду и ни в одном столбце не было карт одной и той же масти или достоинства. Эту задачу впервые предложил в 1694 г. французский математик Жак Озанам, поэтому его можно было бы считать изобретателем судоку.

Математиком, несомненно заразившимся этой задачей, был Леонард Эйлер. В 1779 г., за несколько лет до смерти, Эйлер предложил другой вариант задачи. Пусть имеется шесть полков, униформа которых разного цвета, например красная, синяя, желтая, зеленая, оранжевая и фиолетовая. В каждом из полков имеется шесть военнослужащих различного звания, скажем полковник, майор, капитан, лейтенант, капрал и рядовой. Задача состоит в расположении военных на сетке 6 × 6 так, чтобы ни в одной шеренге и ни в одной колонне не было военных одинакового звания или цвета униформы. Эйлер задал этот вопрос для сетки 6 × 6, поскольку считал, что невозможно удовлетворительно расположить 36 военных. Лишь в 1901 г. французский математик-любитель Гастон Тарри доказал, что Эйлер был прав.

Эйлер также полагал, что эту головоломку невозможно решить для сетки размером 10 × 10, 14 × 14, 18 × 18 и т. д., если каждый раз прибавлять 4. Но это оказалось неверно. В 1960 г. три математика с помощью компьютера показали, что удается разместить военных 10 разных званий из 10 полков на сетке размером 10 × 10 вопреки убеждению Эйлера. Они не остановились на достигнутом и полностью опровергли гипотезу Эйлера, доказав, что сетка размером 6 × 6 представляет единственный случай, когда такое расположение невозможно.

Если вы хотите испытать себя в решении головоломки Эйлера на сетке 5 × 5, то загрузите соответствующий файл с веб-сайта «Тайн 4исел», вырежьте военных пяти званий из пяти полков. Проверьте, сумеете ли вы разместить их на сетке 5 × 5, чтобы ни в одной шеренге и ни в одной колонне не было военных из одного полка или одного звания. Эти магические квадраты иногда называют греко-латинскими квадратами. Возьмите первые n букв из латинского и греческого алфавитов и составьте все n × n возможных пар из латинских и греческих букв. Теперь расположите эти пары на сетке n × n, чтобы ни в одной строке и ни в одном столбце не было одинаковых латинских или греческих букв.

Судоку несколько отличается от головоломки Эйлера о военных. В его классической форме вам необходимо разместить девять наборов чисел от 1 до 9 на сетке 9 × 9 так, чтобы ни в одной строке, столбце или квадранте 3 × 3 никакое число не встречалось два раза. Несколько чисел уже нанесены на сетку, и требуется заполнить пустые места. Не верьте тем, кто заявляет, что для решения этих головоломок не требуется математика. Они имеют в виду, что не требуется совершать арифметических действий – судоку, по существу, является логической задачей. Но тот же вид логического рассуждения, которое приводит вас к заключению, что в нижнем правом углу может быть только 3, встречается повсюду и в математике.

С судоку связаны несколько интересных математических вопросов. Один из них: сколькими различными способами можно расположить числа на сетке 9 × 9, чтобы удовлетворить правилам судоку? (Опять-таки под различными мы имеем в виду «существенно» различные: мы считаем два расположения одинаковыми, если одно из них переходит в другое вследствие простой симметрии, например перестановки строк.) Ответ был найден в 2006 г. Эдом Расселом и Фрэзером Джарвисом: 5 472 730 538. Этого вполне достаточно, чтобы газеты продолжали выходить еще какое-то время.

Однако другая математическая задача, связанная с этими головоломками, не была решена полностью. Какое минимальное количество чисел должно быть вначале нанесено на сетку, чтобы судоку решалось только одним способом? Понятно, что если этих чисел будет мало – скажем, 3, то головоломку можно будет решить многими способами, имеющейся вначале информации будет недостаточно для однозначного решения. Считается, что необходимо по крайней мере 17 чисел, чтобы судоку решалось только одним способом. Этот вопрос выходит за рамки головоломок, решаемых на досуге. У математики, лежащей в основе судоку, имеются важные следствия для кодов с коррекцией ошибок, с которыми мы познакомимся в следующей главе.

Имеется множество безумных способов попасть в Книгу рекордов Гиннесса. Итальянский бухгалтер Микеле Сантелиа оказался там, напечатав 64 книги на языке оригинала в обратном порядке (3 361 851 слово, 19 549 382 символа). Среди них были Одиссея, «Макбет», латинская Библия (Вульгата) и Книга рекордов Гиннесса за 2002 г. Кен Эдвардс из Глоссопа, графство Дербишир, является обладателем мирового рекорда по скорости поедания тараканов – 36 за одну минуту. А американцу Ашрите Фурману понадобилось 12 часов 27 минут, чтобы пропрыгать на пого-стике («кузнечике») рекордное расстояние 37,18 км. У него также рекорд по самому большому количеству рекордов! Но поможет ли математика в ваших попытках оказаться в зале славы Гиннесса?