Тайны чисел. Математическая одиссея - Маркус Дю Сотой

Представьте, что вы хотите инвестировать £ 1 и изучаете процентные ставки, предлагаемые различными банками, и их условия. Один из банков предлагает 100 % годовых, выплачиваемых по истечении года. В результате ваша инвестиция возрастет до £ 2. Неплохо, но другой банк предлагает ставку 50 % за полгода, выплачиваемую два раза в год. Тогда через полгода у вас будет £ 1,50, а через год £ 1,50 + £ 0,75 = £ 2,25. Таким образом, условия второго банка лучше, чем первого. А третий банк предлагает 33,3 % за четыре месяца, выплачиваемые три раза в год. Это приведет к £ (1,333)³ = £ 2,37 через двенадцать месяцев. Если вы разбиваете год на все меньшие и меньшие интервалы, эта капитализация процентов становится все более выгодной вам.

К настоящему времени, как я надеюсь, математик внутри вас понял, что вам выгоднее всего было бы обратиться в «Банк бесконечности», который разделяет год на бесконечно малые промежутки времени. В этом банке у вас будет максимально достижимый баланс. Хотя баланс и увеличивается при все большем разделении года, он не будет бесконечным, а будет стремиться к этому волшебному числу e = 2,71828… Как и у π, у е имеется бесконечное десятичное разложение (обозначаемое «…»), которое никогда не повторяется. Оказывается, что е играет ключевую роль в том, чтобы помочь вам победить в викторине «Тайн 4исел».

Математический анализ этой игры предлагает вам сначала вычислить 1/е, что приблизительно составляет 0,37. Теперь вам нужно открыть 37 % конвертов, или около семи из них. Продолжайте открывать конверты, но остановитесь, как только дойдете до денежной суммы, превосходящей все, открытые до нее. Математика оценивает, что в одном случае из трех вы получите максимальный денежный приз. Данная стратегия полезна не только при участии в телевикторине «Тайн 4исел». Для принятия многих решений в нашей жизни можно также руководствоваться ею.

Вы помните вашего первого бойфренда или подругу? Наверное, вы считали их замечательными. Вероятно, у вас были романтические мечты провести всю жизнь вместе. Но потом возникло мучительное чувство, что вы заслуживаете большего. Беда в том, что если вы разорвете отношения с партнером, то пути назад уже не будет. Так в какой момент имеет смысл прекратить дальнейшие поиски и принять то, что у вас имеется? Поиск квартиры является другим классическим примером. Сколько раз получается так, что уже первая просмотренная квартира кажется вам замечательной, но потом представляется необходимым увидеть больше вариантов до заключения договора, хотя при этом вы рискуете упустить первую замечательную квартиру?

Поразительно, но та же математика, которая помогает победить в телевикторине «Тайн 4исел», может дать вам наилучшие шансы при поиске партнера или квартиры. Предположим, что вы начинаете ходить на свидания в возрасте 16 лет и при этом поставили перед собой цель найти любовь своей жизни до пятидесятилетнего возраста. Также предположим, что вы меняете партнеров с постоянной частотой. Математика говорит, что вам стоит сначала изучить окружение в течение 37 % времени, которые вы отвели себе, то есть приблизительно до 28 лет. Затем вы должны остановиться на партнере, который лучше всех, с кем вы встречались до него или нее. Для одного из трех человек это гарантирует, что он найдет наилучшего возможного партнера. Но ни в коем случае не проговоритесь любви вашей жизни о принятой стратегии!

Даже если вы знаете математику, игры вроде «Монополии» или телевикторины «Тайн 4исел» все же опираются на случай. Но теперь я предложу вам простую игру для двух участников, которая иллюстрирует то, как математика может гарантировать вам победу. Возьмите 13 шоколадных батончиков и стручок жгучего перца и сложите их в кучку на столе. Каждый игрок по очереди берет один, два или три предмета из кучки. Цель игры состоит в том, чтобы заставить вашего соперника взять стручок перца.

Рис. 3.09. Шоколадно-перечная рулетка

Существует стратегия, приводящая к победе, если вы ходите первым. Она состоит в том, что, сколько бы батончиков ни взял соперник, вы берете из горки столько батончиков, чтобы в данном раунде вы вместе взяли четыре штуки. Например, если ваш оппонент берет три батончика, вы берете один. Если же он берет два, вы также берете два.

Прием состоит в том, что можно расположить батончики шоколада в ряды по четыре штуки (делайте это в голове, иначе вы раскроете свои карты). Вначале имеется 13 батончиков, то есть получается три ряда по четыре плюс один батончик (а также, разумеется, перец). Так что ваш первый ход должен состоять в том, чтобы взять этот одиночный батончик. После этого действуйте по рецепту, приведенному выше: в ответ на ход вашего соперника возьмите столько батончиков, чтобы вместе вы брали четыре. После трех раундов на столе останется только стручок перца, и вашему сопернику придется взять его.

Рис. 3.10. Как расположить шоколад, чтобы гарантировать победу

Стратегия опирается на то, что вы ходите первым. Если первым ходит ваш оппонент, то единственной его ошибки будет достаточно, чтобы вы вернули себе выигрышную позицию. Например, если он возьмет больше одного батончика при первом ходе, он станет расходовать батончики из первого ряда из четырех штук. Тогда вы, как и ранее, возьмите остаток этого ряда.

Вы можете модифицировать игру, начав ее с другого количества батончиков или изменив максимальное число батончиков, которое разрешается брать за один ход. Та же математика, состоящая в разделении батончиков на группы, позволит вам придумать выигрышную стратегию.

Существует другой вариант этой игры, называемый «Ним». Для нахождения гарантированной выигрышной стратегии в «Ним» необходим более изощренный математический анализ. На сей раз на столе находятся четыре кучки. В первой кучке – пять шоколадных батончиков, во второй – четыре, в третьей – три, наконец, в четвертой находится только стручок перца. Теперь вам разрешается брать сколько угодно батончиков, но только из одной кучки. Например, вы могли бы взять все пять шоколадных батончиков из первой кучки либо только один из третьей. Вы проиграете, если вашей единственной возможностью будет взять стручок перца.

Таблица 3.02. Запись чисел в двоичной системе

Чтобы выиграть эту игру, нужно уметь переводить числа из десятичной в двоичную систему счисления. Мы считаем десятками, потому что у нас десять пальцев. После того как вы дошли до 9, вы начинаете новый разряд в записи чисел и пишете 10, чтобы указать, что в этом числе один десяток и ноль единиц. Но компьютеры любят считать двойками, что мы называем двоичной, или бинарной, системой. Каждый разряд в записи числа в двоичном виде соответствует степени 2, а не степени 10. Например, двоичное число 101 подразумевает 1 набор 22, 0 наборов 21 и 1 единицу (20). Итак, 101 – это двоичный вид числа 4 + 1 = 5. В таблице приведено несколько первых чисел, записанные в двоичном виде.