Игра случая. Математика и мифология совпадения - Джозеф Мазур

Мне сообщали, что шансы выбрать 4 выигрышных числа составляют 18 септиллионов к 1, а это настолько маловероятно, что может произойти с одним человеком только раз в квадриллион лет{118}. (Смотри описание хода вычислений в главе 7.) Может быть, и так, но, не зная, сколько раз Гинтер проиграла (а у нас нет возможности это узнать), нельзя выяснить действительные шансы. Некоторые части истории отсутствуют. У нее действительно есть докторская степень по математике, полученная в Стэнфорде, так что, возможно, для определения выигрышных номеров при покупке билетов оптом она использовала некий алгоритм.

Давайте рассмотрим лотерею Texas Lotto. Игроки покупают один билет за $1 и отмечают 6 чисел от 1 до 54. Лотерея публикует шансы на выигрыш в таком виде, как показано в табл. 10.1. Предположим, что Гинтер купила один билет за $1 и выбрала 6 выигрышных чисел. При джекпоте $2 млн ожидаемый выигрыш составляет всего 9 центов с доллара. Можно выиграть три других приза, не составляющих джекпот, так что мы должны прибавить ожидаемое значение 7 центов (полный выигрыш, исключая джекпот) к ожидаемому значению джекпота, изменив таким образом ожидаемое значение выигрыша любого из призов на 16 центов. На каждый сыгранный доллар игрок выбрасывает 84 цента.

Кроме того, существуют налоги и вероятность разделить выигрыш с кем-то из игроков, поэтому ожидаемое значение сокращается примерно до 12 центов. Пул игроков увеличивается с размером джекпота, поэтому вероятность, что джекпот придется разделить между несколькими игроками, также растет.

Да, выиграть в лотерею 4 раза – колоссальная удача. Вероятность даже одного выигрыша поразительно мала. Четыре выигрыша Гинтер – событие с настолько малой вероятностью, что после запятой понадобится поставить 32 нуля, прежде чем начнут появляться числа, от нуля отличные. Но только потому, что мы называем конкретного человека в качестве четырехкратного победителя – Джоан Гинтер. Конечно, у нее столько же шансов выиграть любое число раз, пусть даже один раз, сколько имеется их у любого другого при условии, что она покупает только один билет за раз. Но шансы того, что кто-то выиграет джекпот, достаточно высоки, учитывая, что в год продается до 1 млрд билетов Texas Lotto. Все-таки кто-то выигрывает, хотя может пройти несколько розыгрышей, прежде чем появится победитель. В 2014 г. около 31 818 182 человек в США потратили $70 млрд на покупку лотерейных билетов. Если каждый год покупается 70 млрд билетов и если числа выбраны случайно (они не абсолютно случайные, как мы отметили в главе 6), тогда в течение года кто-то точно должен выиграть, и есть неплохие шансы того, что кто-то выиграет в течение месяца.

Нам понятно, как может выиграть один человек, но как насчет того, что один и тот же человек выигрывает 4 раза? У выигрыша Гинтер и ему подобных весьма неплохие шансы, если учитывать все население США: почти 320 млн человек. Ее выигрыши кажутся изумительными только потому, что мы их рассматриваем как произошедшие с одним конкретным человеком – Джоан Гинтер.

Давайте вычислим вероятность того, что человек, любой человек, не обязательно Гинтер, выиграет в лотерею дважды в течение пяти лет. Вы можете найти результаты довольно удивительными. В Северной Америке 26 отдельных больших легальных лотерей со 104 розыгрышами в год и общим числом в 13 250 розыгрышей за период в пять лет. В среднем 1/6 от общего числа розыгрышей заканчиваются розыгрышем джекпота, поэтому число выигрышей – 2253.

Теперь выдвинем безумное предположение о том, что эти события не зависят друг от друга. Оно безумное, поскольку мы предполагаем, что каждый победитель каждого выигрышного тиража продолжает играть на большие суммы и использует ту же стратегию, что и раньше, чтобы повлиять на следующий выигрыш. Мы также предполагаем – только для того, чтобы можно было провести исследование, – что каждый игрок использует ту же стратегию, что и любой другой. Иными словами, мы усредняем стратегии по всем выигравшим джекпот. Иначе задача становится слишком сложной для анализа.

Пусть x – вероятность того, что некий человек постоянно играет в лотерею в течение пяти лет и дважды выигрывает[18]. Примем за p вероятность выиграть джекпот в одном тираже лотереи из таблицы 10.1. Сначала вычислим (1 – x) вероятность того, что выигравшие в первый раз не выиграют во второй раз в течение пяти лет. Пусть y = 1 – x. Среднее число выигрывающих джекпот на один разыгранный джекпот составляет 1,7, поэтому с каждым выигрышным тиражом число новых игроков, выигравших джекпот, увеличивается на 1,7. Это означает, что на первый из 2253 выигрышей придется 1,7 победителя. На второй из 2253 выигрышей будет 1,7 × 2 победителя… и на последний из 2253 выигрышей будет 1,7 × 2253 победителя. Иными словами, вероятность того, что первый победитель не выиграет во второй раз в ходе 2, 3,… и последнего из 2253 выигрышей, составляет (1 – p)1,7, (1 – p)1,7×2, (1 – p)1,7×3, … (1 – p)1,7×2253 соответственно. Поскольку мы предполагаем, что каждый выигрыш не зависит от других, y – вероятность того, что ни один из выигравших один раз не выиграет во второй раз – это произведение (1 – p)1,7 (1 – p)1,7×2 (1 – p)1,7×3… (1 – p)(1,7×(2253 – 1)).

Следовательно, y = (1 – p)1,7(1 + 2 + 3+… + 2253) = (1 – p)4312693 ≈ 0,85. Иными словами, x – то есть вероятность того, что кто-то выиграет джекпот дважды за пять лет, – примерно равен 0,15. Для периода в десять лет эта вероятность равна 0,48, и для 13 лет (время между первым и вторым выигрышем Джоан Гинтер) она составит 0,67.

Мы можем провести схожие вычисления для всего мира и периода в 1 год. В мире 166 лотерей. У многих лотерей вне США только 1 розыгрыш в неделю. Таким образом, общее число тиражей, составленное из еженедельных розыгрышей по всему миру, а также розыгрышей в США 2 раза в неделю за 2 года составит 9984. Число выигравших джекпот за 1 год (учитывая шкалу, согласно которой в США число розыгрышей на джекпот составляет в среднем 5 к 1 и отношение розыгрышей к джекпотам в остальном мире в 3 к 1) в силу вышесказанного – 2496. Используя тот же метод, мы вычисляем y = (1 – p)1,7×(1+2+…+2495) = (1 – p)5 293 392 ≈ 0,82. Следовательно, x = 0,18.

За 2 года вероятность того, что 1 человек выиграет дважды, составит 0,55, а за четыре года – 0,96 – число настолько близкое к 1, что шанс того, что кто-то выиграет джекпот дважды в течение четырех лет, – это практически достоверность.