Жемчужина Эйлера - Дэвид С. Ричесон

рисунков и заметок мы знаем, что Гаусс задумывался об узлах еще в 1794 году, но, увы, ничего не опубликовал на эту тему. В одной рукописной жемчужине, датированной 1833 годом, он привел двойной интеграл, который можно было бы использовать для вычисления коэффициента зацепления двух замкнутых кривых — топологический величины, показывающей, сколько раз кривые переплетаются друг с другом163.

А раз так, то, наверное, неудивительно, что Листинг, один из учеников Гаусса, действительно начал математически изучать узлы. Его вклад можно найти в монографии 1847 года «Топология»164, часто цитируемой сокровищнице топологических курьезов. Хотя Листинг не предложил классификацию всех узлов, его, очевидно, интересовали методы различения двух узлов. Например, он утверждал, что трилистник и его зеркальное изображение — не один и тот же узел. Но предпринятое им изучение узлов было проигнорировано точно так же, как изучение ленты Мёбиуса. В итоге возникновение теории узлов связывают не с Листингом, а с двумя шотландскими физиками, работавшими над новой теорией атома.

В 1867 году Уильям Томсон (1824–1907) сделал предположение, что атомы образованы вихрями, или узлами в эфире. Томсон, больше известный как лорд Кельвин, также ввел абсолютную температурную шкалу и участвовал в проектировании первого трансатлантического телеграфного кабеля (за эту работу он был посвящен в рыцари). Согласно Кельвину, каждому атому соответствовал свой узел или связанный набор узлов, а устойчивость атома объясняется устойчивостью узла при топологической деформации. Это остроумная, хотя и неправильная идея владела умами в течение двух десятилетий.

Модель атома Томсона побудила его приятеля Питера Гатри Тэйта заняться классификацией узлов. В 1877 году Тэйт начал составлять таблицу узлов — он полагал, что создает периодическую таблицу элементов. В конечном итоге этот взгляд на химию был развенчан, но Тэйт продолжил свое исследование. К 1900 году он и американский математик индийского происхождения Чарльз Ньютон Литтл (1858–1923) составили почти полный перечень узлов с десятью или меньшим числом пересечений (имеется в виду пересечение при изображении узла на плоскости — чуть ниже мы еще поговорим о терминологии).

Для классификации узлов Тэйт пользовался в основном своей превосходно развитой интуицией. В последующие годы математики придумали мириады изобретательных инструментов для строгой дифференциации узлов. Большая их часть — инварианты узлов. В главе 17 мы обсуждали топологические инварианты поверхностей. Для узлов инварианты играют такую же роль. Инвариантом узла называется число или иная сущность, ассоциированная с узлом. Если инварианты двух узлов различны, то это должны быть разные узлы.

Рис. 18.3. Уильям Томсон (лорд Кельвин) и Питер Гатри Тэйт

Существует много инвариантов узлов, и некоторые описать очень легко. В этой главе мы познакомимся с несколькими инвариантами узлов, включая связанный с поверхностями и эйлеровой характеристикой.

Узел — это окружность, а окружность встречается в качестве края поверхностей. Удивительно, но можно найти поверхности с завязанным в узел краем. На рис. 18.4 мы видим, что тривиальный узел — это край диска (в этом нет ничего неожиданного), а трилистник — край трижды перекрученной ленты Мёбиуса. На рис. 17.10 мы видели еще один пример поверхности с краем в виде трилистника.

Рис. 18.4. Тривиальный узел — это граница диска, а трилистник — край трижды перекрученной ленты Мёбиуса

Замечательно не то, что можно найти поверхность с завязанным в узел краем, а то, что любой узел можно реализовать как край некоторой поверхности.

В качестве забавного эксперимента попробуйте создать поверхности с завязанными в узел краями из мыльных пузырей. Для этого изготовьте узел из жесткой проволоки (плечики для одежды подойдут для небольших узлов, хотя они слишком жесткие и недостаточно длинные для сложных узлов) и погрузите его в мыльный раствор. Проткните дырки, чтобы сформировать одну поверхность[11].

Трилистник на рис. 18.4 — край неориентируемой поверхности (напомним, что в трехмерном пространстве неориентируемая и односторонняя — синонимы). Подобной ситуации можно избежать — если дан произвольный узел, то можно построить ориентируемую поверхность, краем которой будет этот узел. Такая поверхность называется поверхностью Зейферта в честь Герберта Зейферта (1907–1996).

Рис. 18.5. Герберт Зейферт

Быть может, не менее удивительной, чем сама теорема, является простота построения таких поверхностей. Мы приведем элегантный алгоритм Зейферта, открытый им в 1934 году165.

Проиллюстрируем алгоритм на примере трилистника. Для начала выберем одну из двух возможных ориентаций узла, т. е. направление его обхода. Затем спроецируем узел на плоскость. Допустима почти любая проекция. Мы хотим избежать «плохих» проекций, например когда три пряди пересекаются в одной точке или два участка веревки проецируются друг на друга и образуют множество, состоящее более чем из одной точки. Но в остальном проекция может быть сколь угодно сложной.

Затем воспользуемся этой проекцией, чтобы создать набор так называемых окружностей Зейферта. Начнем обходить узел, следуя выбранной ориентации. В каждой точке пересечения переходим на другую прядь, сохраняя направление обхода. Когда мы вернемся в исходную точку, получится окружность (см. рис. 18.6). Повторим процедуру для прядей, которые еще не обошли. Создадим диски, границами которых являются окружности Зейферта. В зависимости от проекции может оказаться, что одни окружности вложены в другие. В этом случае одни диски окажутся поверх других (как на рис. 18.6).

Рис. 18.5. Окружности Зейферта для трилистника и соответствующие диски

Теперь соединим диски вместе, прикрепив прямоугольные перекрученные ленты. Точнее, в каждом месте, где было пересечение, прикрепим ленту, перекрученную в направлении, определяемом исходным пересечением (см. рис. 18.7). Хотя сразу это и не очевидно, нетрудно доказать, что эта процедура всегда порождает ориентируемую поверхность с краем.

На рис. 18.8 показано, как завершается построение поверхности Зейферта для трилистника. А на рис. 18.9 весь процесс повторен для квадратного узла. Эта поверхность образована тремя дисками и шестью лентами.

Согласно теореме классификации, нам «известны» все возможные поверхности. Поверхность Зейферта — это ориентируемая поверхность с одной компонентой края. Поэтому она должна быть гомеоморфна сфере или тору с g дырками и вырезанным диском. Вот теперь мы в полной мере ощутили всю мощь теоремы классификации, поскольку поверхности Зейферта вовсе не выглядят как проколотые торы. Теоретически можно было бы приклеить диск к краю одной из поверхностей Зейферта и получить замкнутую поверхность, но для такого склеивания пришлось бы выйти в четвертое измерение.

Рис. 18.7. Прикрепление перекрученной ленты

Рис. 18.8. Поверхность Зейферта для трилистника

Рис. 18.9. Поверхность Зейферта для квадратного узла