Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса - Йен Стюарт

Одним из таких геометров был Гаусс, с юности веривший в вероятность существования логически последовательной неевклидовой геометрии и позже доказавший в этой области немало теорем. Но, как он откровенно заявил в 1829 г. в письме к Бесселю, у него не было намерения публиковать некоторые из своих работ из опасения стать объектом того, что он называл «криками беотийцев». Люди, лишенные воображения, не смогут его понять и в своем невежестве и приверженности традициям поднимут его на смех. Возможно, в этом опасении ученый укрепился из-за излишнего почтения к философскому авторитету Канта: тот утверждал, что геометрия пространства должна быть евклидовой.

В 1799 г. Гаусс написал венгерскому ученому Фаркашу Бойяи, признавшись, что его исследование «заставит меня сомневаться в истинности геометрии. Да, я добился того, что многие уверенно назвали бы доказательством (пятого постулата с помощью других аксиом), но в моих глазах это всё ничего не стоит».

Прочие математики оказались не столь щепетильными. В 1826 г. Николай Лобачевский уже читал в Казанском университете лекции по неевклидовой геометрии. Он ничего не знал о работах Гаусса, но доказал те же теоремы своими методами. Две статьи на эту тему появились в 1829 и 1835 гг. Никакого шума, как опасался Гаусс, они не подняли, скорее, без следа канули в неизвестность. В 1840 г. Лобачевский опубликовал книгу на ту же тему, где открыто посетовал на отсутствие интереса. В 1855 г. он выпустил новый труд, развивавший достижения первого.

Независимо от них сын Фаркаша Бойяи, Янош, армейский офицер, пришел к тем же идеям в 1825 г. и изложил их в 26-страничном труде, опубликованном в книге его отца по геометрии «Опыт введения учащегося юношества в начала чистой математики» как приложение в 1832 г. Он признавался отцу: «Я сделал открытия столь поразительные, что сам растерялся».

Гаусс прочел эту работу, но объяснил Фаркашу, что не считает себя вправе хвалить молодого ученого, потому что «оценить это – всё равно что оценить себя». Возможно, это было не совсем справедливо, но таков уж был этот человек.

История неевклидовой геометрии слишком сложна, чтобы описывать ее во всех подробностях, но мы можем резюмировать результаты, полученные благодаря усилиям ее первопроходцев. Была установлена глубокая связь между тремя случаями, отмеченными Саккери, Ламбертом, Гауссом, Бойяи и Лобачевским. Их всех объединяет идея кривизны. Неевклидова геометрия – на самом деле естественная геометрия криволинейной поверхности. Если поверхность имеет положительную кривизну, как сфера, мы имеем дело с тупым углом. Это долгое время отвергалось из-за слишком очевидных отличий сферической геометрии от евклидовой – например, потому что здесь любые две линии, т. е. большие круги, чьи центры совпадают с центром Земли, встречаются в двух точках, а не в одной, как мы ожидаем от евклидовых прямых.

Теперь нам ясно, что эти возражения необоснованны. Если мы отождествим в одну точку диаметрально противоположные точки на сфере – т. е. примем, что они идентичны, – то линии (большие круги) всё равно будут иметь смысл: если точка лежит на большом круге, на нем же будет лежать и диаметрально противоположная ей. С таким определением практически все геометрические свойства остаются неизменными, но теперь линии встречаются в одной точке. Топологически в результате мы получаем проективную плоскость, хотя задействованный здесь подход – далеко не общепринятая проективная геометрия. Сейчас мы называем ее эллиптической геометрией, и она так же востребована, как геометрия Евклида.

Если поверхность имеет отрицательную кривизну, как седло, мы переходим к случаю с острым углом. Полученная в результате геометрия называется гиперболической. Она имеет множество занимательных особенностей, отличающих ее от евклидовой.

Модель Пуанкаре гиперболической геометрии делает ее более ясной: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит бесконечно много параллельных (не пересекающих ее) линий

Если кривизна поверхности нулевая, как у евклидовой плоскости, то мы попадаем в область евклидовой геометрии. Все три геометрии удовлетворяют всем аксиомам Евклида, за исключением пятого постулата. Решение Евклида включить его было оправданным.

Эти различные геометрии могут быть выражены самыми разными способами. И здесь особенно многогранна гиперболическая геометрия. В одной модели соответствующее пространство может оказаться верхней комплексной полуплоскостью, без вещественной оси и всего, что ниже ее. Линия является полуокружностью, встречающейся с вещественной осью под прямыми углами. Топологически данное пространство есть не что иное, как плоскость, а его линии тождествены обычным. Изгиб линий отражает отрицательную кривизну гиперболического пространства.

Во второй модели гиперболической геометрии, исследованной Пуанкаре, пространство заключено внутри круга, не включает его границы, а линии являются дугами окружностей и пересекают границу под прямыми углами. И снова данный вид геометрии отражает кривизну пространства. Художник Мауриц Эшер создал много картин, основанных на этой модели гиперболической геометрии, с которой его познакомил канадский ученый Коксетер.

Обе модели затрагивают глубинные связи между гиперболической геометрией и комплексным анализом. Эти связи относятся к основным группам преобразований комплексной плоскости. Согласно «Эрлангенской программе» Феликса Клейна, гиперболическая геометрия является геометрией инвариантов таких преобразований. Другой класс трансформаций, так называемые преобразования Мёбиуса, в свою очередь, вводят в игру эллиптическую геометрию.

Что значит геометрия пространства? Теперь мы все согласны с Клюгелем и не согласны с Кантом. Это был вопрос опыта, а не отвлеченных материй, решаемых исключительно силой мысли. Теория относительности Эйнштейна утверждает, что пространство (и время) может искривляться: кривизна – это гравитационный эффект материи. Более того: кривизна может меняться от одной зоны к другой в зависимости от распределения материи. Иными словами, дело тут не в геометрии пространства как таковой. Пространство может иметь разные геометрии на разных участках. Евклидова геометрия безупречно работает в человеческих масштабах, в мире человека: ведь гравитационное искривление столь незначительно, что мы не замечаем его в обыденной жизни. Но в масштабах Вселенной ведущая роль принадлежит неевклидовой геометрии.

Начиная с ученых древности и вплоть до XIX в. математики и реальный мир пребывали в безнадежном самообмане. Господствовало твердое убеждение в том, что математика – отражение основных и неизменных свойств реального мира и что математика – истина в последней инстанции. И нигде это убеждение не удерживало столь прочные позиции, как в классической геометрии. Пространство существует по законам Евклида, для всех и каждого, кто вообще об этом задумался. А разве могло быть иначе?