Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса - Йен Стюарт

ЧТО НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ ДАЕТ НАМ

Какова форма Вселенной? Вопрос может показаться простым, но ответить на него нелегко – отчасти из-за огромности Вселенной, но главным образом из-за того, что мы внутри и не имеем возможности кинуть взгляд со стороны. По аналогии, снова восходящей к Гауссу, муравей, живущий на некой поверхности и созерцающий мир только с нее, не сумеет уверенно сказать, является ли она плоскостью, сферой, тором или еще более сложной фигурой.

Теория относительности говорит нам, что вблизи от материального тела, такого как звезда, пространство-время искривляется. Уравнения Эйнштейна, демонстрирующие зависимость кривизны от плотности материи, имеют много разных решений. В самом простом из них Вселенная в целом имеет положительную кривизну и топологию сферы. Но, насколько мы можем судить, общая кривизна реально существующей Вселенной бывает и отрицательной.

Мы даже не уверены, простирается ли Вселенная бесконечно, как евклидово пространство, или имеет конечный размер, как сфера. Некоторые физики настаивают, что Вселенная бесконечна, однако экспериментальная основа этой идеи вызывает много вопросов. И большинство все-таки считает ее размеры конечными.

Удивительно, что конечная Вселенная может существовать, не имея границы. Это справедливо для двумерной поверхности сферы и для тора. Тор может быть описан плоскостной геометрией (планиметрией), ведь он наследник прямоугольника, у которого склеены противоположные стороны. Топологи также открыли, что пространство может быть конечным и в то же время иметь отрицательную кривизну. Один из способов построения такого пространства: берем конечный многогранник в гиперболическом пространстве и отождествляем различные его грани, так что линия, выходящая из одной грани многогранника, тут же входит в другую грань. Эта конструкция напоминает то, как меняются местами верхний и нижний края экрана во многих компьютерных играх.

Если пространство конечно, должна быть возможность наблюдать одну и ту же звезду в разных направлениях, хотя в некоторых направлениях она может показаться более далекой, чем в других, и, кроме того, доступный для наблюдений сектор Вселенной может оказаться слишком мал для этого. Если конечное пространство имеет гиперболическую геометрию, это множит местонахождение одних и тех же звезд в разных направлениях, создавая в небесах систему гигантских окружностей, причем геометрия последних будет определять, какое именно гиперболическое пространство мы наблюдаем. Но окружности могут оказаться где угодно среди миллиардов звезд, видимых наблюдателю, т. е. попытки разглядывать их, основанные на статистической корреляции между кажущимися позициями звезд, будут безрезультатными.

В 2003 г. данные, полученные с космического аппарата НАСА Wilkinson Microwave Anisotropy Probe, позволили команде Жана-Пьера Люмине предположить, что пространство конечно, но имеет положительную кривизну. Они обнаружили, что додекаэдрическое пространство Пуанкаре – полученное путем отождествления противоположных граней искривленного додекаэдра – лучше всего согласуется с наблюдениями. Это предположение дошло до широкой публики как утверждение о том, что Вселенная имеет форму футбольного мяча. Однако это предположение не подтверждено, и мы по-прежнему не знаем, какова истинная форма Вселенной. Но по крайней мере у нас уже есть гораздо более полное представление о том, что нужно сделать, чтобы решить эту загадку.

Около 1850 математиков подготовили самые значительные перемены в истории науки, хотя это не всегда было очевидно их современникам. Вплоть до 1800 г. главными объектами математических исследований были понятия вполне конкретные: числа, треугольники, сферы. Алгебра предложила формулы для описания операций с числами, но сами по себе формулы воспринимались как символические описания неких процессов, а не просто объектов. Но к 1900 г. формулы и их преобразования стали восприниматься как объекты, а не процессы, и предметом алгебры стали более абстрактные и обобщенные понятия. Она стала почти всеобъемлющей. Даже такие основные законы, как коммутативный закон умножения ab = ba, заняли важное место во многих областях математики.