Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса - Йен Стюарт

Сейчас у нас есть возможность познакомиться с общей идеей Абеля, не погружаясь в технические тонкости. Он справился с проблемой, выделив два вида алгебраических операций. Предположим, мы начинаем с набора разных величин; это могут быть как конкретные числа, так и алгебраические выражения со многими неизвестными. Из них мы можем построить много других величин путем сложения, вычитания, умножения или деления. Для простого неизвестного x возможно составить такие выражения, как x2, 3x + 4 или (x + 7)/(2x – 3). Алгебраически все эти выражения имеют тот же фундамент, что и сам x.

Другой способ получить новые величины из имеющихся – использовать радикалы. Возьмите для примера любую простую величину и извлеките из нее корень. Назовем такой шаг применением радикала. Если это квадратный корень, скажем, что степень радикала равна 2, если кубический – 3, и т. д.

В этих терминах формула Кардано для кубического уравнения может быть представлена как результат двухшаговой процедуры. Начнем с коэффициентов для кубического уравнения (и любой безобидной комбинации из них). Применим радикал со степенью 2. Затем следующий радикал со степенью 3. И всё. Описание говорит нам, какого вида формула получилась, но не какая именно. Зачастую ключом к решению математической загадки становится не фокусировка на деталях, а более широкий взгляд на ее особенности. Меньшее может оказаться более важным. И когда этот прием срабатывает, остается только удивляться «чуду»; а здесь он срабатывает прекрасно. Он позволил Абелю свести любую гипотетическую формулу для решения уравнения пятого порядка до самых существенных шагов: извлечь некую последовательность радикалов в определенном порядке, с различными степенями. И всегда остается возможность построить выражение так, чтобы степень снизилась до более простой: например, для корня шестой степени это будет кубический корень из квадратного корня.

Назовем такую последовательность башней радикалов. Уравнение считается решаемым с помощью радикалов, если хотя бы одно его решение может быть представлено башней радикалов. Но вместо того, чтобы искать ее, Абель просто предположил, что она существует, и задался вопросом, как тогда должно выглядеть исходное уравнение.

Сам того не понимая, Абель заполнил пробел в доказательстве Руффини. Он показал, что если уравнение может быть решено с помощью радикалов, то должна существовать башня радикалов, приводящая к этому решению, обязательно содержащая только коэффициенты исходного уравнения. Это теорема Абеля о решении алгебраических уравнений; она содержит утверждение, что нельзя решить уравнение за счет включения множества новых величин, не связанных с исходными коэффициентами. Вроде бы очевидно, но Абель понимал, что это решающий момент для всего доказательства.

Ключом к абелеву доказательству невозможности стал искусный предварительный результат. Предположим, мы взяли некоторое выражение от корней x1, x2, x3, x4, x5 уравнения и извлекли его корень p-й степени для некоторого простого числа p. Предположим, что исходное выражение не изменилось, когда мы применили две специальные перестановки:

и

Затем Абель показал, что p-й корень из этого выражения также не изменяется, когда мы применяем S и T. Этот предварительный результат напрямую подводит нас к доказательству теоремы о невозможности подъема на «башню», ступень за ступенью. Предположим, уравнение пятой степени можно решить в радикалах, т. е. существует башня радикалов, начинающаяся с коэффициентов, по которой можно подняться к некоему решению.

Первый этаж башни – безобидное выражение с коэффициентами – не меняется, когда мы применяем перестановки S и T, потому что они влияют не на коэффициенты, а на корни. Поэтому, по предварительному результату Абеля, второй этаж башни также неизменен после применения S и T, ведь он был достигнут примыканием корня p-й степени к чему-то с первого этажа для некоего простого числа p. По той же причине третий этаж остается неизменным, когда мы применяем S и T. То же касается четвертого этажа, пятого… до самого верха.

Но последний этаж содержит некое решение. Может ли им быть x1? Если да, x1 должен оставаться неизменным, когда мы применили S. Но S, примененное к x1, дает x2, а не x1; это нас не устраивает. По схожим причинам иногда после применения T решение, определяемое башней, не может быть x2, x3, x4 или x5. Все пять корней исключены из любой такой башни – и в итоге она на самом деле не может содержать решения.

Из этой логической ловушки нет выхода. Уравнения пятой степени не имеют решения, потому что любое решение в радикалах должно обладать взаимоисключающими свойствами, а значит, не может существовать.

Эстафету в разгадке не только тайны решения уравнения пятой степени, но и алгебраических уравнений в целом принял Эварист Галуа, одна из самых трагических фигур в истории математики. Галуа сам перед собой поставил задачу определить, какие уравнения могут быть решены в радикалах, а какие нет. Как и многие его предшественники, он понимал, что ключ к алгебраическому решению кроется в поведении корней в результате перестановок. Проблема заключалась в симметрии.

Руффини и Абель понимали, что выражение корней может быть как симметричным, так и нет. Оно может оказаться частично симметричным: неизменным при одних перестановках и изменяемым при других.

Галуа заметил, что перестановки, фиксирующие некоторые выражения с корнями, не обязательно формируют такие соотношения для любого их старого набора. Они имеют простую и очень характерную особенность. Если вы берете любые две перестановки, фиксирующие выражение, и перемножаете их, результат также фиксирует перестановку. Такую систему перестановок он назвал группой. Как только вы поймете верность этой идеи, доказать ее будет очень просто. Секрет в том, чтобы ее осмыслить и осознать ее важность.