Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике - Джон Дербишир

Мне хотелось бы отправиться с вами в обзорное путешествие по 23 проблемам Гильберта.[101] Но тогда эта книга станет недопустимо длинной. А кроме того, имеется обширная, приспособленная к различным уровням понимания литература, с помощью которой такое путешествие осуществимо.[102] Я лишь замечу попутно, что самая первая из проблем Гильберта относилась к упоминавшейся в предыдущей главе континуум-гипотезе, которая посвящена самой сути запутанного вопроса о природе вещественных чисел и возражениям, выдвигавшимся против них Кронеккером. О континуум- гипотезе также имеется обширная литература. Хорошая библиотека или хороший интернет-поисковик вполне удовлетворят любопытство любого, кто захочет обратиться к этой завораживающей задаче.[103]

Только одна из проблем Гильберта — восьмая — имеет прямое отношение к теме нашей книги. Вот она — в переводе Мэри Уинстон Ньюсон из Bulletin of the American Mathematical Society[104]:

Тем читателям, которые до сих пор не потеряли нить, этот пассаж должен быть понятен хотя бы отчасти. Я надеюсь, что все целиком приобретет смысл, когда мы доберемся до конца книги. Сейчас главное для нас — тот факт, что Гипотеза Римана рассматривалась как один из 23 больших и сложных вопросов, стоящих перед математиками в XX столетии, и именно так ее рассматривал Давид Гильберт— вероятно, величайший среди математиков, активно работавших в 1900 году.[105]

III.

В главе 10.iii мы кратко упомянули причину, определявшую важность Гипотезы Римана на рубеже столетия. Основным фактором было то, что Теорема о распределении простых чисел была к этому моменту доказана. С 1896 года с математической точностью было известно, что π(N) ~ Li(N), и всеобщее внимание было приковано к этому значку «волны» посередине. Да, по мере того как N неограниченно растет, делаясь все больше и больше, π(N) пропорциональным образом становится все ближе и ближе к Li(N). Но какова природа этой близости? Нельзя ли указать лучшее приближение? И вообще, насколько приближенно это приближение? Каков «остаточный член»?

Когда вопрос с ТРПЧ решился и математики смогли свободно предаваться мыслям об этих «второстепенных» вещах, они обнаружили, что их взор прикован к Гипотезе Римана. В работе Бернхарда Римана 1859 года ТРПЧ не была, конечно, доказана, но та работа явственно подсказывала, что теорема эта верна, и, более того, там предлагалось выражение для остаточного члена. В это выражение входили все нетривиальные нули дзета-функции. Точное знание о том, где, собственно, находятся эти нули, стало делом неотложной важности.

Математическая суть дела будет проясняться по мере нашего продвижения вперед, но, думается, вы вовсе не удивитесь, узнав, что все эти нули — комплексные числа. В 1900 году о расположении этих нетривиальных нулей (имеется в виду расположение на комплексной плоскости) с математической точностью было известно следующее.

• Существует бесконечно много нулей дзета-функции, причем все они имеют вещественную часть, заключенную в пределах от 0 до 1 (не включая границы). Чтобы наглядно это представить, математики используют комплексную плоскость (рис. 12.1) и говорят, что все нетривиальные нули лежат в критической полосе. В Гипотезе Римана делается более сильное утверждение: что все они лежат на линии, вещественная часть которой равна одной второй — т.е. на критической прямой. «Критическая полоса» и «критическая прямая» — распространенные термины при обсуждении Гипотезы Римана, и мы отныне будем свободно ими пользоваться.