Жемчужина Эйлера - Дэвид С. Ричесон

class="p">Иногда Пуанкаре представлял многообразие n-мерным многогранником, который называл симплициальным комплексом. В симплициальном комплексе обобщением вершины, ребра и грани является симплекс. Можно предполагать, что все симплексы — это треугольники или многомерные аналоги треугольников. На рис. 22.3 показано, что k-симплекс — это k-мерная фигура, определяемая k + 1 точками. 0-симплекс — это точка, 1-симплекс — отрезок прямой, 2-симплекс — треугольник, 3-симплекс — треугольная пирамида и т. д. Предполагается, что два соседних симплициальных комплекса граничат по симплексу меньшей размерности. (Заметим, что как многогранники Гесселя [глава 15] не были поверхностями, так не каждый симплициальный комплекс является многообразием.)

Рис. 22.3. 0-, 1-, 2- и 3-симплексы

Пуанкаре предложил еще один способ описания многообразий — обобщение построения поверхностей Клейном. Как Клейн строил поверхности, склеивая стороны многоугольников, так Пуанкаре создавал n-мерные многообразия, склеивая грани n-мерных многогранников. Чтобы получить тор, нужно склеить противоположные грани квадрата без перекручивания. Аналогично, чтобы построить 3-мерный тор, нужно попарно склеить противоположные грани куба без перекручивания (см. рис. 22.4). 3-мерный тор — пример замкнутого ориентируемого 3-мерного многообразия.

Рис. 22.4. После склеивания соответственных граней получается тор

В абстрактном определении многообразия не говорится, где это многообразие «живет». Мы смогли определить бутылку Клейна и понять ее свойства, не зная, что она не может существовать в ℝ3. Спрашивается: если дано n-мерное многообразие общего вида, всегда ли можно поместить его в евклидово пространство ℝm, так чтобы избежать самопересечений? Если да, то насколько большим должно быть m? Хасслер Уитни доказал, что любое n-мерное многообразие можно разместить в некотором евклидовом пространстве размерности не больше 2n. Этот результат называется теоремой Уитни о вложении.

В главе 17 мы рассматривали теорему классификации для поверхностей. Каждая поверхность является либо сферой с ручками, либо сферой со скрещенными колпаками. Имеет смысл задаться вопросом, можно ли классифицировать n-мерные многообразия для n > 2. Оказывается, что это очень трудная задача. В главе 17 мы утверждали, что размерность n-мерного многообразия — топологический инвариант, т. е. 5-мерное многообразие не может быть гомеоморфно 7-мерному. Даже этот результат обосновать было нелегко. Только в 1911 году Брауэр доказал теорему об инвариантности размерности197, которая утверждает, что ℝn” негомеоморфно ℝm при m ≠ n. Позже мы обсудим одну из самых знаменитых задач классификации, за решение которой была назначена награда в миллион долларов.

Важность задач классификации не следует недооценивать. Один из главных открытых вопросов — какова форма Вселенной? Всем, кроме специалистов по теории струн, представляется, что мы живем в трехмерной Вселенной — гигантском 3-мерном многообразии (предположительно без края!). Каковы свойства этого многообразия? Конечен ли его диаметр, или оно простирается бесконечно? Верно ли, что оно топологически эквивалентно ℝ3, или же оно имеет нетривиальные топологические свойства? И еще более странный вопрос — ориентируемо ли оно? Может ли случиться, что космонавт-правша улетит далеко от Земли и вернется левшой?

Теперь, когда мы ввели понятие многообразия для любой размерности, естественно возникает вопрос, применима ли к ним формула Эйлера. Для ответа на него нам придется вернуться к многогранникам. Коши первым увидел нечто подобное обобщению формулы Эйлера на более высокие размерности198. В той же статье, где он доказал формулу Эйлера путем проецирования многогранника на плоскость, был сформулирован и доказан многомерный ее аналог в одном частном случае. Коши доказал, что если пометить вершины, ребра и грани внутрь выпуклого многогранника, разбив его тем самым на S выпуклых многогранников, и обозначить V, E, F соответственно полное число вершин, ребер и граней (включая и внутренние), то

V — E + F — S = 1.

Для иллюстрации теоремы Коши рассмотрим разбиения октаэдра и куба на рис. 22.5. Новая грань внутри октаэдра разбивает его на два многогранника, поэтому S = 2. Имеется 6 вершин, 12 ребер и 9 граней. В полном соответствии с утверждением Коши, 6 — 12 + 9–2 = 1. Аналогично в кубе, разбитом на 3 многогранника, имеется 12 вершин, 22 ребра и 14 граней, и 12–22 + 14 — 3 = 1.

В 1852 году Людвиг Шлефли открыл вариант формулы Эйлера, справедливый для выпуклых многогранников любой размерности, но эта работа была опубликована только в 1901 году, когда его результаты уже были заново открыты другими199. Пусть P — n-мерный многогранник, имеющий b0 вершин, b1 ребер, b2 граней и вообще bk граней размерности k. Шлефли представлял себе эти многогранники как полые оболочки, ограниченные (n–1) — мерными гранями, это означает, что bn = 0. Определим эйлерову характеристику как знакопеременную сумму числа граней разных размерностей: χ(P) = b0 — b1 + b2 —… ± bn–1. Шлефли заметил, что χ(Р) = 0, когда n нечетно, и χ(P) = 2, когда n четно.

Рис. 22.5. Разбиение октаэдра и куба

Рассмотрим результаты Коши и Шлефли с точки зрения современной топологии. Прежде всего оба ограничивались только выпуклыми многогранниками, не имеющими ни дыр, ни туннелей. Топологически полый п-мерный многогранник Шлефли гомеоморфен (n — 1) — мерной единичной сфере, Sn-1. Таким образом, теорема Шлефли показывает, что χ(Sn) = 0 при нечетном n и χ(Sn) = 2 при четном n. С другой стороны, Коши предполагал, что выпуклый многогранник сплошной, т. е. топологически эквивалентный трехмерному шару B3. Коши доказал, что χ(B3) = 1, а мы теперь знаем, что χ(Bn) = 1 для всех n. Чтобы убедиться в этом, создадим Вn, «заполнив» многогранник Шлефли одной n-мерной гранью. Тогда χ(Bn) = χ(Sn-1) + (–1)n. Для четных n χ(Bn) = 0 + 1 = 1, а для нечетных n χ(Bn) = 2–1 = 1.

Следующее обобщение на многомерный случай было предложено Листингом. Мы уже несколько раз с ним встречались. Он внес вклад в теорию графов (глава 11), первым из математиков стал изучать узлы (глава 18), открыл ленту Мёбиуса раньше самого Мёбиуса и даже придумал термин «топология» (глава 16). Фактически он первым подошел к формуле Эйлера с чисто топологической точки зрения и стал первым математиком, думавшим как тополог. Можно было бы назвать его одним из гигантов топологии. Но в действительности его мало кто знал во время жизни, да и после смерти он долго оставался незаметной фигурой. Даже теперь в «Словаре научных биографий», восемнадцатитомном собрании кратких биографий наиболее значительных ученых и математиков за всю историю человечества, нет статьи о Листинге.

Рис. 22.6.