Жемчужина Эйлера - Дэвид С. Ричесон

Не понятно, почему он так и не занял достойного места в истории. У него прекрасный академический послужной список. Он защитил докторскую диссертацию под руководством Гаусса и оставался в ближнем кругу своего учителя до самой его смерти (Листинг присутствовал на похоронах). В течение восьми лет он жил по соседству с Риманом. (Удивительно, что нет никаких свидетельств совместной работы или даже значимых бесед между ними, хотя у них так много общего. Высказывалось предположение, что Листинг, возможно, опасался заразиться туберкулезом, терзавшим семью Римана200.) Листинг внес важный вклад и в другие области науки, например оптику глаза. Помимо топологии, он ввел в оборот еще несколько терминов, сохранившихся до наших дней, например «микрон» — миллионная доля метра.

Быть может, неизвестностью он обязан личным качествам. Будучи общительным и добрым человеком, он страдал маниакально-депрессивным психозом, постоянно испытывал финансовые затруднения из-за больших долгов, а его жена часто вступала в конфликт с законом. Быть может, из-за своего беспокойного духа он на несколько лет отдалялся от математики и принимал неудачные карьерные решения, а быть может, все объясняется отказом играть в политические игры в академии. Возможно, проблема — в его способе изложение математики. В его работах всегда очень много внимания уделяется деталям, за которыми трудно разглядеть важные и глубокие открытия.

Он написал две монографии по топологии, одну в 1847, другую в 1861 году201. Первая, уже упоминавшаяся «Топология», состояла в основном из его размышлений на топологические темы. Вторая, с длинным названием «Der Census räumllcher Complexe oder Verallgemelnerung des Euler'-schen Satzes von den Polyedern» («Исследование пространственных комплексов, или Обобщение теоремы Эйлера на многогранники»), содержала его обобщения формулы Эйлера на невыпуклые трехмерные тела. В 1884 году П. Г. Тэйт сетовал, что труды Листинга по топологии не были извлечены из незаслуженной безвестности и не опубликованы на английском, особенно когда так много работ, по сравнению с ними никчемных или, по крайней мере, не столь полезных, удостоилось этой чести202.

В «Исследовании» Листинг отказался от взгляда на многогранники как на жесткие фигуры, а подверг проблему топологическому рассмотрению. Листинг подсчитывал количество вершин, ребер, граней и (трехмерных) пространственных граней, но допускал, что эти характеристики могут иметь нетривиальную топологию, или (в его терминологии) циклозис. Например, он считал окружность ребром, а сферу гранью, но при подсчете модифицировал итог, принимая во внимание их топологию. цилиндр он считал гранью, но, поскольку тот содержит нетривиальную петлю, вычитал единицу. Таким образом, если A, B, C, D — соответственно число вершин, ребер, граней и пространственных граней, очищенных от циклозиса, то A — B + C — D = 0.

Чтобы дать представление о том, как устроено разбиение Листинга, применим его к сплошному тору — это разбиение показано на рис. 22.7. В нем нет вершин, одно круговое ребро, две грани (в форме цилиндра и в форме диска) и две пространственные грани (внутренность цилиндра и окружающее пространство, которое он тоже учитывал в подсчете). Поскольку в этом разбиении нет вершин, A = 0. Ребро одно, но оно содержит замкнутую петлю, так что B = 1–1 = 0. Грани две, но поскольку цилиндрическая грань содержит замкнутую петлю вдоль окружности, то C уменьшается на единицу. Таким образом, C = 2–1 = 1. Наконец, пространственных грани две, но поскольку внешнее пространство содержит нетривиальную петлю, имеем D = 2–1 = 1. В полном согласии с формулой Листинга: A — B + C — D = 0–0 + 1–1 = 0.

Рис. 22.7. Разбиение сплошного тора

Подход Листинга к задаче был удивительно остроумным и проницательным. Это была первая попытка рассмотреть трехмерную формулу Эйлера с чисто топологической точки зрения. Однако она была далека от совершенства. Уж как минимум способ вычисления A, B, C и D был путаным. Листинг отказался от изящной простоты вершин, ребер и граней Эйлера. Вместо этого мы должны понимать топологию каждого элемента разбиения Листинга.

Следующий крупный вклад в теорию n-мерной топологии был сделан Риманом и итальянским математиком Энрико Бетти (1823–1892). Чтобы понять, в чем он состоял, нам придется вернуться к изучению поверхностей, предпринятому Риманом.

В своей докторской диссертации 1851 года Риман представил топологический инвариант — число дырок в ориентируемой поверхности. Он назвал его числом связности поверхности203. Поверхность (с краем или без края) имеет число связности n, или является n-связной[15], если n — наибольшее число разрезов, при котором поверхность еще не распадается на части[16]. Если поверхность имеет край, то разрезы должны начинаться и заканчиваться на крае. Если же у поверхности нет края, то первый разрез должен начинаться и заканчиваться в одной и той же точке (после чего у поверхности появится край).

На рис. 22.8 показано три поверхности с краем: цилиндр, диск с тремя дырками и лента Мёбиуса. Пунктирными линиями представлены разрезы. Для цилиндра и диска с дырками число связности равно 1 и 3 соответственно. Работа Римана по числам связности предшествует открытию неориентируемых поверхностей Мёбиусом, но числа связности для неориентируемых поверхностей вычисляются точно таким же образом. В частности, лента Мёбиуса 1-связная.

Рис. 22.8. Разрезы для определения чисел связности различных поверхностей

Простейшей замкнутой поверхностью является сфера. Любой разрез вдоль замкнутой кривой разбивает сферу на две части. Поэтому сфера 0-связная. Если разрезать тор вдоль трубки, то получится цилиндр. После второго разреза параллельно оси цилиндра получится прямоугольник. Следовательно, число связности тора равно 2. Аналогично можно вычислить числа связности других поверхностей. Двойной тор 4-связен, проективная плоскость 1-связна, а бутылка Клейна 2-связна.

Может показаться, что число связности — новый важный топологический инвариант, но на самом деле это замаскированная эйлерова характеристика. Проницательный читатель, наверное, уже подметил связь между числом связности и родом ориентируемой замкнутой поверхности. И Риман тоже обратил на это внимание — число связности в два раза больше рода. Если известна одна из трех величин — род, эйлерова характеристика или число связности, — то можно вычислить и остальные две.

Давайте уточним связь между числом связности и эйлеровой характеристикой. Представим себе, что до фактического разрезания мы нарисовали линии разрезов на n-связной поверхности S. Это дает очень простое разбиение поверхности. Для простоты предположим, что все разрезы начинаются и заканчиваются в одной и той же точке, так что V = 1. После разрезания останется одна грань, так что F = 1. Кроме того, каждая линия разреза является ребром, так что E = n. В результате получаем следующее простое соотношение между числом связности и эйлеровой характеристикой:

χ(S) = 1 — n