Жемчужина Эйлера - Дэвид С. Ричесон

на поверхности. Для ориентируемых поверхностей он назвал эту величину 1-мерным числом Бетти, в честь Бетти. Для его вычисления он определил странную арифметическую операцию на множестве петель, которую мы будем записывать как сложение.

В теории гомологий любая петля имеет ориентацию и называется циклом. Таким образом, циклы a и — a — одна и та же петля, но с противоположными ориентациями. Суммой двух петель a и b называется объединение циклов, поэтому a + b и b + a — одно и то же, что в нашей нотации записывается как a + b = b + a. Иногда желательно представлять себе a + b как самостоятельную петлю. Согласно нашей арифметике, мы можем проследовать по петле a, затем по b, или по петле b, затем по a. Хотя это могут быть разные петли, они представляют один и тот же цикл. Мы допускаем взаимное уничтожение двух циклов противоположной ориентации, т. е. a + (—a) + b = b. Кроме того, если цикл a можно деформировать в цикл b, то a = b.

Чтобы почувствовать, как работает такое сложение, рассмотрим три цикла a, b и c на торе (рис. 23.2). Как видим, можно деформировать цикл c, так что он совпадет с циклом a, за которым следует цикл b. Поэтому c и a + b — один и тот же цикл, или c = a + b.

Рис. 23.2. Цикл c можно деформировать в цикл a + b

Если это действительно операция сложения, то должен быть нулевой цикл. На что он похож? Самый очевидный нулевой цикл — тот, что можно стянуть в точку. На односвязной поверхности любой цикл нулевой. И всё? Верно ли, что единственные нулевые циклы — топологически тривиальные? Оказывается, нет. Цикл w на рис. 23.3 охватывает «талию» двойного тора, и стянуть его в точку невозможно. Однако его можно деформировать, так что он пройдет по циклу u, затем по v, потом по — u и по — v. Следовательно, w = u + v + (—u) + (—v) 0.

Рис. 23.3. Нулевой цикл на двойном торе, который невозможно стянуть в точку

Мы видим, что цикл c на рис. 23.2 можно записать в виде суммы циклов a и b. Оказывается, что любой цикл на торе можно записать в виде суммы a и b. Иными словами, если дан произвольный цикл d на торе, то можно найти такие целые числа m и n, что d = ma + nb. То есть а и b — единственные существенные циклы, поэтому, согласно Пуанкаре, одномерное число Бетти тора равно 2. Аналогично для двойного тора на рис. 23.3 циклы u и v существенны, и есть еще два вокруг другой дырки. Одномерное число Бетти двойного тора равно 4.

Для ориентируемых поверхностей количество таких циклов является первым числом Бетти, но для неориентируемых начинаются странности. Весь наш опыт подсказывает, что из уравнения a + a = 0 следует, что a = 0. Для вещественных чисел так оно и есть. Но для циклов может случиться, что a ≢ 0, но а + а ≡ 0. Вообще-то, такое явление в жизни не редкость. На многих автомобилях одометр рассчитан на расстояние до 99 999 километров. Для такого одометра 50 000 + 50 000 = 0. Другой пример — отсчет времени, принятый в армии. Полночь — это 0:00, полдень — 12:00, а время непосредственно перед полуночью — 23:59. Поэтому через 12 часов после 12:00 будет 0:00, или 12 + 12 = 0.

Чтобы увидеть эту странную арифметику в действии, вернемся к проективной плоскости и бутылке Клейна. На рис. 22.8 мы видели, что число связности проективной плоскости равно 1. Обозначим соответствующий цикл a и придадим ему ориентацию, как показано на рис. 23.4. Тогда a + a, или для краткости 2a, — это цикл, проходящий по a два раза. Удивительно, но, как видно по рисунку, этот удвоенный цикл действительно топологически тривиален — путем деформирования его можно стянуть в точку. Поэтому 2а = 0.

Рис. 23.4. Для проективной плоскости 2а = 0

То же самое имеет место для бутылки Клейна, но обоснование несколько отличается. Ранее мы видели, что число связности бутылки Клейна равно 2. Обозначим соответствующие циклы (ориентированные) b и c, как показано на рис. 23.5. Как видно, удвоенный цикл 2b эквивалентен b + c + (—b) + (—с). Иначе говоря, хотя 2b топологически не тривиален, все равно 2b 0.

Таким образом, мы можем разделить эти существенные циклы на два класса в зависимости от того, обладают они таким поведением или нет. Продолжим называть количество циклов, не обладающих таким поведением, 1-мерным числом Бетти. Если на поверхности существует цикл a, для которого na ≡ 0 (и n — наименьшее такое положительное число), то будем называть n коэффициентом зацепления поверхности. Следовательно, в 1-мерном случае для проективной плоскости число Бетти равно 0, а коэффициент зацепления равен 2, тогда как для бутылки Клейна число Бетти равно 1, а коэффициент зацепления равен 2.

Действуя похожим образом, Пуанкаре определил многомерные числа Бетти и коэффициенты зацепления, только в качестве циклов он использовал не петли, а многообразия более высокой размерности. Пуанкаре доказал, что числа Бетти и коэффициенты зацепления — топологические инварианты многообразий. В табл. 23.1 приведены числа Бетти и коэффициенты зацепления замкнутых поверхностей. Мы обозначаем bi i-е число Бетти[14].

Рис. 23.5. Для бутылки Клейна 2b = b + c + (—b) + (—с) = 0

Таблица 23.1. Числа Бетти и коэффициенты зацепления поверхностей

В «Analysis Situs» Пуанкаре следовал идеям Римана и Бетти. Но, отвечая на призыв к строгости, в последующих статьях он сменил направление. Именно тогда он начал работать с симплициальными комплексами, n-мерным обобщением многогранников. В этом контексте циклы в теории[18] гомологий строятся, исходя из особенностей многогранника. Например, 1-мерный цикл — это не произвольная петля на многообразии, а последовательность ребер многогранника, образующая петлю.

С практической точки зрения, работать с симплициальными комплексами гораздо проще, чем с первой моделью Пуанкаре. Пуанкаре мог описать комплекс в терминах матрицы инциденций — прямоугольного массива чисел, показывающего, какие симплексы являются соседними. Вычисление чисел Бетти и коэффициентов зацепления с помощью этих матриц стало чисто механическим процессом.

Располагая таким обобщением многогранников на многомерный случай, естественно задаться вопросом, можно ли обобщить эйлерову характеристику на многомерные многообразия. Пункаре, как Коши и Шлефли до