Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике - Джон Дербишир

Муравья Арга невероятно трудно разглядеть, потому что он имеет бесконечно малый размер. Но если бы мы могли его видеть, то обнаружили бы, что он выглядит совсем как обычный муравей — если уж быть точным, то как рабочий Camponotus japonicus — с соответствующим числом лапок, усиков и прочего. В одной из своих передних лапок, которую можно для удобства называть «рукой», муравей Арг держит приборчик вроде пейджера, или мобильного телефона, или одного из тех устройств для глобального позиционирования, что всегда сообщают вам, где именно вы находитесь. На этом приборчике (рис. 13.5) имеются три окошка. В первом окошке, под которым написано «функция», показано название некоторой функции: z2, ln z и т.д. — в общем, на приборчике можно выставить любую функцию. Во втором окошке, под которым написано «аргумент», показана точка — т.е. комплексное число, — на которой муравей Арг стоит в данный момент. И в третьем окошке, с подписью «значение функции», показано значение выбранной функции при данном аргументе. Таким образом, муравей Арг всегда точно знает, где находится; а для любой заданной функции он знает, кроме того, куда данная функция отправляет точку, на которой он стоит.

Моя задача состоит в том, чтобы показать вам дзета-функцию, И поэтому я собираюсь отправить муравья Арга свободно бродить по комплексной плоскости.[114] Когда в окошке «значение функции» показан нуль, это значит, что Арг стоит на точке («аргументе»), которая является нулем дзета-функции. Я договорюсь с ним, чтобы он отмечал эти точки волшебным маркером, который он носит в маленьком кармашке на брюшке. Тогда мы сможем узнать, где располагаются нули дзета-функции.

На самом деле я попрошу муравья Арга потрудиться еще немного. Пусть он отмечает все аргументы, которые дают чисто вещественное или чисто мнимое значение функции. Он отметит аргумент, при котором значение функции равно 2, или −2, или 2i, или −2i; а точку, в которой значение функции равно 3,7i, он отмечать не будет. Другими словами, он отметит все точки, которые дзета-функция отправляет на вещественную ось или на мнимую ось таким способом мы получим нечто вроде картинки, представляющей дзета-функцию.

На рисунке 13.6 представлен результат этой одиссеи. Прямыми линиями на ней показаны вещественная и мнимая оси, а также критическая полоса. Все кривые линии составлены из точек, которые дзета-функция отправляет на вещественную или мнимую оси. Разумеется, поскольку вещественная и мнимая оси пересекаются в нуле, нулями дзета-функции будут как раз точки, где эти линии пересекаются. В точках, где каждая из этих кривых уходит с рисунка, подписано значение функции, соответствующее этой точке.

Попытка представить себе, что же дзета-функция делает с комплексной плоскостью — в том же духе, как на рисунке 13.3, где показано, что делает с ней функция возведения в квадрат — это упражнение, требующее довольно серьезного умственного напряжения. Если функция возведения в квадрат заворачивает комплексную плоскость саму над собой в двулистную поверхность, изображенную на рисунке 13.3, то дзета-функция делает подобную же вещь бесконечное число раз, что дает бесконечнолистную поверхность. Не расстраивайтесь, если не получается такое себе представить. Чтобы начать интуитивно воспринимать подобные функции, требуется практика в течение нескольких лет. Как я уже говорил, наш подход будет попроще.

Муравей Арг разметил комплексную плоскость так, что получились узоры, показанные на рисунке 13.6. Теперь отправим его путешествовать вдоль одной из этих кривых. Пусть он выходит из точки −2. Поскольку это нуль дзета-функции — один из тривиальных нулей, — окошко «значение функции» показывает 0. А муравей собирается ползти на запад вдоль вещественной оси. Значения функции начинают отодвигаться от нуля.

Вскоре после прохождения точки −2,717262829 при движении на запад окошко «значение функции» покажет число 0,009159890…. Затем число в этом окошке начнет снова уменьшаться до нуля. Поскольку вы читали главу 9, то вполне можете догадаться, что должно произойти. Значение функции будет убывать и убывать до нуля, который и будет достигнут при аргументе −4.

Это оказалось не слишком интересным. Начнем снова. Из точки −2, где показание «значение функции» равно 0, муравей Арг отправится на запад в точку, где значение функции было наибольшим. Но вместо того, чтобы продолжать путь на запад до −4, он резко поворачивает направо и берет курс на север вдоль верхней ветви напоминающей параболу кривой. Теперь значение функции будет все возрастать и возрастать — сначала оно достигнет значения 0,01, затем 0,1, потом (вскоре после пересечения с мнимой осью) достигнет 0,5. И когда муравей устремится на восток по верхней ветви «параболы», значение продолжит расти. Когда муравей выйдет за пределы страницы, направляясь при этом уже почти точно на восток, показание в окошке будет составлять 0,9990286. Оно все еще продолжает возрастать, но страшно медленно, и муравью придется прошагать всю дорогу до бесконечности, пока в окошке не появится 1.

Оказавшись на бесконечности, муравей Арг может захотеть развернуться и пойти обратно. Но чтобы ему не возвращаться той же дорогой, отправим его домой вдоль положительной части вещественной оси. (Не ломайте себе голову на этот счет слишком сильно. Для наших целей на самом деле имеется всего одна «точка на бесконечности», так что, раз оказавшись там, можно отправиться назад в мир настоящих конечных чисел вдоль вообще любого направления). Показания в окошке «значение функции» теперь возрастают: там будет высвечено 1,0009945751… в момент возвращения на рисунок, 1,644934066848… в момент, когда муравей Арг проходит 2 (помните базельскую задачу?), а потом при подходе к 1 показания резко взлетают вверх.

Когда муравей Арг наступает на число 1, из приборчика, который он держит в руке, раздается звонок, а в окошке «значение функции» загорается большой ярко-красный мигающий знак бесконечности ∞. Если муравей Арг посмотрит на это окошко повнимательнее, он обнаружит занятную вещь. Справа от знака бесконечности очень быстро вспыхивает и гаснет маленькая буква i. Одновременно с этим слева от бесконечности загорается и гаснет знак минус, причем тоже очень быстро, но рассогласованно с пульсациями буквы i. Дело выглядит так, будто бы окошко пытается одновременно показать четыре различных значения: ∞, −∞, ∞i и −∞i. Занятно!