Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике - Джон Дербишир

Скажем сразу: от обычных графиков толку здесь немного. В мире вещественных чисел можно изобразить функцию на графике таким образом: проводим прямую, изображающую аргументы (как мы помним, вещественные числа живут на прямой); затем проводим другую прямую под прямым углом к первой и используем ее для значений функции. Чтобы выразить тот факт, что данная функция превращает число x в число y, двигаемся на восток от нулевого аргумента на расстояние x (на запад, если x отрицательно), а затем на север от нулевого значения на расстояние y (на юг, если y отрицательно). Отмечаем там точку. Повторяем такое для стольких значений функции, сколько нам не лень вычислить. Это и дает график функции. На рисунке 13.1 приведен пример.

Однако это не годится для функций комплексной переменной. Аргументам требуется двумерная плоскость, чтобы на ней расположиться, а значениям функции нужна еще одна двумерная плоскость. Так что для графика требуются четыре пространственных измерения: два для аргументов и два для значений функции. (В четырехмерном пространстве, хотите верьте, хотите нет, две двумерные плоскости могут пересекаться в единственной точке. Это можно сравнить с тем фактом — совершенно недоступным для понимания обитателей двумерной вселенной, — что в трехмерии две непараллельные прямые не обязаны пересекаться.)

Это разочаровывает; но в качестве компенсации имеется кое-что, что можно делать для создания картинок, представляющих функции комплексной переменной. Вспомним то главное, что надо знать про функцию: она превращает одно число (аргумент) в другое (значение). Так вот, число-аргумент представляет собой точку где-то на комплексной плоскости, а значение функции представляет собой некоторую другую точку. Таким образом, функция комплексной переменной отправляет все точки из своей области определения в другие точки. Можно выбрать какие-то точки и посмотреть, куда они отправляются.

На рисунке 13.2, например, показаны числа, образующие стороны некоторого квадрата на комплексной плоскости. Углы отмены буквами a, b, c и d. Это в действительности комплексные числа −0,2 + 1,2i, 0,8 + 1,2i, 0,8 + 2,2i и −0,2 + 2,2i.

Что с ними произойдет при применении функции возведения в квадрат? Если умножить число −0,2 + 1,2i само на себя, то получится −1,4 − 0,48i; значит, таково значение функции для точки a. Возведение в квадрат чисел, соответствующих точкам b, c и d, дает значения для всех остальных углов; эти значения отмечены как A, B, C и D. Если повторить это для всех точек вдоль сторон квадрата, а также для точек, образующих сетку внутри него, получится искаженный квадрат, также изображенный на рисунке 13.2.

V.

При работе с функциями комплексной переменной полезно думать о комплексной плоскости как о бесконечно растяжимом резиновом листе, при этом спрашивая себя, что же функция делает с этим листом. По числам, выбранным на рисунке 13.2, можно видеть, что функция возведения в квадрат растягивает лист, закручивая его против часовой стрелки вокруг нулевой точки и одновременно вытягивая наружу. Число 2i, например, которое само по себе живет на положительной (северной) части мнимой оси, при возведении в квадрат отправляется в число −4, расположенное на отрицательной (западной) части вещественной оси, причем вдвое дальше от нулевой точки. В свою очередь −4 при возведении в квадрат растягивается до 16 (еще дальше от нуля) и попадает на положительную (восточную) часть вещественной оси. По правилу знаков число −2i, находящееся на отрицательной (южной) части мнимой оси, «докручивается» до числа −4. На самом деле, согласно правилу знаков, всякое[113] значение функции возведения в квадрат встречается дважды, возникая при двух аргументах: не будем забывать, что −4 есть квадрат не только числа 2i, но и числа −2i.

Бернхард Риман, обладавший, судя по всему, чрезвычайно развитым зрительным воображением, представлял себе это таким образом. Возьмем всю комплексную плоскость. Проведем разрез вдоль отрицательной (западной) части вещественной оси, остановившись в точке нуль. Теперь ухватимся за верхний край этого разреза и потянем его против часовой стрелки, поворачивая вокруг точки нуль, как будто туда встроен шарнир. Повернем этот край на 360 градусов. Теперь наш край разреза находится над растянутым листом, а другой край расположен прямо под ним. Проведем наш край через лист (для этого следует представить себе, что комплексная плоскость не только бесконечно растяжима, но и сделана из некоторого рода туманной субстанции, которая может проходить сама сквозь себя) и склеим оба края исходного разреза. Картинка у нас в голове теперь выглядит примерно так, как показано на рисунке 13.3. Вот что функция возведения в квадрат делает с комплексной плоскостью.

Это вовсе не досужие изыски. На основе такого мысленного упражнения Риман развил целую теорию, впоследствии названную теорией римановых поверхностей. Она содержит ряд мощных результатов и дает глубокое понимание того, как ведут себя функции комплексной переменной. Она также соединяет теорию функций с алгеброй и топологией — двумя ключевыми областями математики XX столетия. А главное — она представляет собой типичный продукт дерзкого, бесстрашного и самобытного воображения, которым обладал Риман, — продукт одного из величайших умов, вообще когда-либо существовавших.

VI.

Я воспользуюсь гораздо более простым подходом для иллюстрации функций комплексной переменной. Позвольте представить моего друга, муравья по имени Арг; он перед вами на рисунке 13.4.